Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+4$ và tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên trục hoành. Gọi ${{S}_{1}}$ ; ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng như trong hình vẽ. Tỷ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng:
A. $\dfrac{3}{5}$.
B. $\dfrac{3}{4}$.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. $\dfrac{5}{3}$.
Gọi $I$ là điểm uốn của đồ thị hàm số
Tịnh tiến đồ thị theo vector $\overrightarrow{IO}$ ta được đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có điểm uốn là gốc tọa độ $O$ và hai điểm cực trị ${{x}_{3}}=-2$, ${{x}_{4}}=1$.
$\Rightarrow $ $g'\left( x \right)=3a\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)=3a\left( {{x}^{2}}-4 \right)$ với $a\ne 0$.
Từ đó ta có $g\left( x \right)=a\left( {{x}^{3}}-12x \right)+d$.
Do $g\left( x \right)$ đi qua gốc tọa độ $O$ nên $d=0$ $\Rightarrow $ $g\left( x \right)=a\left( {{x}^{3}}-12x \right)$.
Ta có ${{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{0}{a\left( {{x}^{3}}-12x \right)\text{d}x}=a\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-6{{x}^{2}} \right)\left| \begin{matrix}
0 \\
-2 \\
\end{matrix} \right.=20a$.
Lại có: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}$ bằng diện tích của hình chữ nhật có các cạnh là $2$ và $g\left( -2 \right)=16a$
$\Rightarrow $ ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=32a$. Do đó ${{S}_{1}}=32a-20a=12a$.
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{12a}{20a}=\dfrac{3}{5}$.
A. $\dfrac{3}{5}$.
B. $\dfrac{3}{4}$.
C. $\dfrac{4}{3}$.
D. $\dfrac{5}{3}$.
Gọi $I$ là điểm uốn của đồ thị hàm số
Tịnh tiến đồ thị theo vector $\overrightarrow{IO}$ ta được đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có điểm uốn là gốc tọa độ $O$ và hai điểm cực trị ${{x}_{3}}=-2$, ${{x}_{4}}=1$.
$\Rightarrow $ $g'\left( x \right)=3a\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)=3a\left( {{x}^{2}}-4 \right)$ với $a\ne 0$.
Từ đó ta có $g\left( x \right)=a\left( {{x}^{3}}-12x \right)+d$.
Do $g\left( x \right)$ đi qua gốc tọa độ $O$ nên $d=0$ $\Rightarrow $ $g\left( x \right)=a\left( {{x}^{3}}-12x \right)$.
Ta có ${{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{0}{a\left( {{x}^{3}}-12x \right)\text{d}x}=a\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-6{{x}^{2}} \right)\left| \begin{matrix}
0 \\
-2 \\
\end{matrix} \right.=20a$.
Lại có: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}$ bằng diện tích của hình chữ nhật có các cạnh là $2$ và $g\left( -2 \right)=16a$
$\Rightarrow $ ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=32a$. Do đó ${{S}_{1}}=32a-20a=12a$.
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{12a}{20a}=\dfrac{3}{5}$.
Đáp án A.