Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)=\dfrac{-1}{2{{\sin }^{2}}x}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}x}$. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)\operatorname{tanx}$.
A. $\int{f'\left( x \right)\tan }xdx=\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{3}}x}-\dfrac{1}{2{{\sin }^{2}}x}+C$
B. $\int{f'\left( x \right)\tan }xdx=\dfrac{3}{2}{{\cot }^{2}}x+C$
C. $\int{f'\left( x \right)\tan }xdx=\dfrac{1}{2}{{\cot }^{2}}x+C$
D. $\int{f'\left( x \right)\tan }xdx=\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{3}}x}+\dfrac{1}{2{{\sin }^{2}}x}+C$
A. $\int{f'\left( x \right)\tan }xdx=\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{3}}x}-\dfrac{1}{2{{\sin }^{2}}x}+C$
B. $\int{f'\left( x \right)\tan }xdx=\dfrac{3}{2}{{\cot }^{2}}x+C$
C. $\int{f'\left( x \right)\tan }xdx=\dfrac{1}{2}{{\cot }^{2}}x+C$
D. $\int{f'\left( x \right)\tan }xdx=\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{3}}x}+\dfrac{1}{2{{\sin }^{2}}x}+C$
Đặt $u=\operatorname{tanx}\Rightarrow du=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x},dv=f'\left( x \right)dx\Rightarrow v=f\left( x \right)$
Do đó: $\int{f'\left( x \right)\operatorname{tanx}dx}=\operatorname{tanx}.f\left( x \right)-\int{\dfrac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}x}dx}$
$=\operatorname{tanx}.\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{3}}x}+\dfrac{1}{2{{\sin }^{2}}x}+C=\dfrac{3}{2}{{\cot }^{2}}x+C$
Do đó: $\int{f'\left( x \right)\operatorname{tanx}dx}=\operatorname{tanx}.f\left( x \right)-\int{\dfrac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}x}dx}$
$=\operatorname{tanx}.\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{3}}x}+\dfrac{1}{2{{\sin }^{2}}x}+C=\dfrac{3}{2}{{\cot }^{2}}x+C$
Đáp án B.