Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=x$ và parabol $y=-{{x}^{2}}+ax$ (a là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}},{{\text{S}}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.
Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $(1;3)$
B. $(3;5)$
C. $(5;7)$
D. $(7;9)$
Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $(1;3)$
B. $(3;5)$
C. $(5;7)$
D. $(7;9)$
Ta có: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{a}{(-{{x}^{2}}+ax)dx}=\left. \left( \dfrac{-{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{a{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{a}=\dfrac{-{{a}^{3}}}{3}+\dfrac{{{a}^{3}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Để ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì ${{S}_{1}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$, mặt khác ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a-1}{(-{{x}^{2}}+ax-x)dx}=\left. \left( \dfrac{-{{x}^{3}}}{3}+(a-1)\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{a-1}$
$=\dfrac{-{{(a-1)}^{3}}}{3}+(a-1).\dfrac{{{(a-1)}^{2}}}{2}=\dfrac{{{(a-1)}^{3}}}{6}$
Suy ra $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}=\dfrac{{{(a-1)}^{3}}}{6}\Leftrightarrow {{a}^{3}}=2{{(a-1)}^{3}}\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{2}(a-1)\Leftrightarrow a=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}$.
Để ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì ${{S}_{1}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$, mặt khác ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a-1}{(-{{x}^{2}}+ax-x)dx}=\left. \left( \dfrac{-{{x}^{3}}}{3}+(a-1)\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{a-1}$
$=\dfrac{-{{(a-1)}^{3}}}{3}+(a-1).\dfrac{{{(a-1)}^{2}}}{2}=\dfrac{{{(a-1)}^{3}}}{6}$
Suy ra $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}=\dfrac{{{(a-1)}^{3}}}{6}\Leftrightarrow {{a}^{3}}=2{{(a-1)}^{3}}\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{2}(a-1)\Leftrightarrow a=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}$.
Đáp án B.