Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=x$ và parabol $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a$ (a là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được bôi đậm trong hình vẽ dưới đây:
Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{3}{7};\dfrac{1}{2} \right).$
B. $\left( 0;\dfrac{1}{3} \right).$
C. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{5} \right).$
D. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{3}{7} \right).$
A. $\left( \dfrac{3}{7};\dfrac{1}{2} \right).$
B. $\left( 0;\dfrac{1}{3} \right).$
C. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{5} \right).$
D. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{3}{7} \right).$
Phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a=x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+2a=0\left( 1 \right).$
Phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2a>0 \\
& 2>0 \\
& 2a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<a<\dfrac{1}{2}$
Khi $0<a<\dfrac{1}{2}$ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}},$
${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-x \right)dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-a+x \right)dx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}x_{2}^{3}+a{{x}_{1}}-\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}=-\dfrac{1}{6}x_{2}^{3}-a{{x}_{2}}+\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}+\dfrac{1}{6}x_{1}^{3}+a{{x}_{1}}-\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}x_{2}^{3}-a{{x}_{2}}+\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}=0\Leftrightarrow x_{2}^{2}+6a-3{{x}_{2}}=0.$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $2a=-x_{2}^{2}+2{{x}_{2}},$ thế vào $\left( 2 \right)$ ta được: $2x_{2}^{2}-3{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=0\left( l \right) \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow a=\dfrac{3}{8}=0,375\in \left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{5} \right).$
Phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2a>0 \\
& 2>0 \\
& 2a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<a<\dfrac{1}{2}$
Khi $0<a<\dfrac{1}{2}$ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}},$
${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-x \right)dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-a+x \right)dx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}x_{2}^{3}+a{{x}_{1}}-\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}=-\dfrac{1}{6}x_{2}^{3}-a{{x}_{2}}+\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}+\dfrac{1}{6}x_{1}^{3}+a{{x}_{1}}-\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}x_{2}^{3}-a{{x}_{2}}+\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}=0\Leftrightarrow x_{2}^{2}+6a-3{{x}_{2}}=0.$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $2a=-x_{2}^{2}+2{{x}_{2}},$ thế vào $\left( 2 \right)$ ta được: $2x_{2}^{2}-3{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=0\left( l \right) \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow a=\dfrac{3}{8}=0,375\in \left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{5} \right).$
Đáp án C.