Cho đường thẳng $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x$ và parabol...

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+a={\displaystyle \frac{3}{4}}x\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+a=0$ $(\ast )$.
Do đường thẳng $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x$ cắt parabol $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+a$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm dương phân biệt $0<x_1<x_2$
$\iff \{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }>0\\ & S>0\\ & P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{9}{16}}-2a>0\\ & 2a>0\end{array}\iff 0<a<{\displaystyle \frac{9}{32}}$.
Ta có:
$S_1=\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+a-{\displaystyle \frac{3}{4}}x)\text{d}x$ ; $S_2=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}({\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+a)\text{d}x=-\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+a-{\displaystyle \frac{3}{4}}x)\text{d}x$.
$S_1=S_2\iff S_1-S_2=0\iff \underset{0}{\overset{x_1}{\int }}({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+a-{\displaystyle \frac{3}{4}}x)\text{d}x+\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+a-{\displaystyle \frac{3}{4}}x)\text{d}x=0$
$\iff \underset{0}{\overset{x_2}{\int }}({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+a-{\displaystyle \frac{3}{4}}x)\text{d}x=0\iff {({\displaystyle \frac{x^3}{6}}+ax-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2)|}_0^{x_2}=0$
$\iff {\displaystyle \frac{1}{6}}{x}_2^3+a{x}_2-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}_{{}^2}^2=0\iff {\displaystyle \frac{1}{6}}{x}_2^2+a-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}_2=0$.
Mà $x_2$ là nghiệm phương trình $(\ast )$ nên ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_{{}^2}^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}_2+a=0$.
Trừ vế với vế hai phương trình được: $-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}_{{}^2}^2+{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}_2=0\iff [\begin{array}{rl}& x_2=0\left(L\right)\\ & x_2={\displaystyle \frac{9}{8}}\left(TM\right)\end{array}$.
Với $x_2={\displaystyle \frac{9}{8}}$ $\Rightarrow a={\displaystyle \frac{27}{128}}$ (tm). Vậy $a={\displaystyle \frac{27}{128}}\in ({\displaystyle \frac{3}{16}};{\displaystyle \frac{7}{32}})$.