Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=\dfrac{3}{4}x$ và parabol $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a$ ( $a$ là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}}, {{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.
Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{32} \right)$.
B. $\left( \dfrac{7}{32}; \dfrac{1}{4} \right)$.
C. $\left( \dfrac{3}{16}; \dfrac{7}{32} \right)$.
D. $\left( 0; \dfrac{3}{16} \right)$.
Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{32} \right)$.
B. $\left( \dfrac{7}{32}; \dfrac{1}{4} \right)$.
C. $\left( \dfrac{3}{16}; \dfrac{7}{32} \right)$.
D. $\left( 0; \dfrac{3}{16} \right)$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a=\dfrac{3}{4}x\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{3}{4}x+a=0$ $\left( * \right)$.
Do đường thẳng $y=\dfrac{3}{4}x$ cắt parabol $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{9}{16}-2a>0 \\
& 2a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<a<\dfrac{9}{32}$.
Ta có:
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}$ ; ${{S}_{2}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a \right)\text{d}x}=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}$.
${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow {{S}_{1}}-{{S}_{2}}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}+\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}=0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}=0\Leftrightarrow \left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{6}+ax-\dfrac{3}{8}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{{{x}_{2}}}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}x_{2}^{3}+a{{x}_{2}}-\dfrac{3}{8}x_{^{2}}^{2}=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}x_{2}^{2}+a-\dfrac{3}{8}{{x}_{2}}=0$.
Mà ${{x}_{2}}$ là nghiệm phương trình $\left( * \right)$ nên $\dfrac{1}{2}x_{^{2}}^{2}-\dfrac{3}{4}{{x}_{2}}+a=0$.
Trừ vế với vế hai phương trình được: $-\dfrac{1}{3}x_{^{2}}^{2}+\dfrac{3}{8}{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=0 \left( L \right) \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{9}{8} \left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{x}_{2}}=\dfrac{9}{8}$ $\Rightarrow a=\dfrac{27}{128}$ (tm). Vậy $a=\dfrac{27}{128}\in \left( \dfrac{3}{16}; \dfrac{7}{32} \right)$.
Do đường thẳng $y=\dfrac{3}{4}x$ cắt parabol $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{9}{16}-2a>0 \\
& 2a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<a<\dfrac{9}{32}$.
Ta có:
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}$ ; ${{S}_{2}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a \right)\text{d}x}=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}$.
${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow {{S}_{1}}-{{S}_{2}}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}+\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}=0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)\text{d}x}=0\Leftrightarrow \left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{6}+ax-\dfrac{3}{8}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{{{x}_{2}}}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}x_{2}^{3}+a{{x}_{2}}-\dfrac{3}{8}x_{^{2}}^{2}=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}x_{2}^{2}+a-\dfrac{3}{8}{{x}_{2}}=0$.
Mà ${{x}_{2}}$ là nghiệm phương trình $\left( * \right)$ nên $\dfrac{1}{2}x_{^{2}}^{2}-\dfrac{3}{4}{{x}_{2}}+a=0$.
Trừ vế với vế hai phương trình được: $-\dfrac{1}{3}x_{^{2}}^{2}+\dfrac{3}{8}{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=0 \left( L \right) \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{9}{8} \left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{x}_{2}}=\dfrac{9}{8}$ $\Rightarrow a=\dfrac{27}{128}$ (tm). Vậy $a=\dfrac{27}{128}\in \left( \dfrac{3}{16}; \dfrac{7}{32} \right)$.
Đáp án C.