Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=\dfrac{3}{2}x$ và parabol $y={{x}^{2}}+a$ ( a là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{9}{16} \right).$
B. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{20} \right).$
C. $\left( \dfrac{9}{20};\dfrac{1}{2} \right).$
D. $\left( 0;\dfrac{2}{5} \right).$
A. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{9}{16} \right).$
B. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{20} \right).$
C. $\left( \dfrac{9}{20};\dfrac{1}{2} \right).$
D. $\left( 0;\dfrac{2}{5} \right).$
Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{2}}+a=\dfrac{3}{2}x\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x+2a=0$
Để phương trình có 2 nghiệm dương thì $\left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta >0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& a<\dfrac{9}{16} \\
\end{aligned} \right. $. Gọi hai nghiệm đó là $ 0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}} $ thì $ {{x}_{2}}=\dfrac{3+\sqrt{9-16a}}{4} $. Để $ {{S}_{1}}={{S}_{2}} $ khi và chỉ khi $ \int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{2}x \right)dx}=0$.
Ta có: $\int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{2}x \right)dx=0\Leftrightarrow \dfrac{x_{2}^{3}}{3}+a{{x}_{2}}-\dfrac{3}{4}x_{2}^{2}=0}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( \dfrac{3+\sqrt{9-16a}}{4} \right)}^{3}}}{3}+a.\dfrac{3+\sqrt{3-16a}}{4}-\dfrac{3}{4}.{{\left( \dfrac{3+\sqrt{9-16a}}{4} \right)}^{2}}=0$
Giải nhanh bằng máy tính cho kết quả $a=0,421875$ thuộc khoảng $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{20} \right)$.
CáCh kháC: Giải như câu 45 đề số 2.
Để phương trình có 2 nghiệm dương thì $\left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta >0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& a<\dfrac{9}{16} \\
\end{aligned} \right. $. Gọi hai nghiệm đó là $ 0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}} $ thì $ {{x}_{2}}=\dfrac{3+\sqrt{9-16a}}{4} $. Để $ {{S}_{1}}={{S}_{2}} $ khi và chỉ khi $ \int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{2}x \right)dx}=0$.
Ta có: $\int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{2}x \right)dx=0\Leftrightarrow \dfrac{x_{2}^{3}}{3}+a{{x}_{2}}-\dfrac{3}{4}x_{2}^{2}=0}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( \dfrac{3+\sqrt{9-16a}}{4} \right)}^{3}}}{3}+a.\dfrac{3+\sqrt{3-16a}}{4}-\dfrac{3}{4}.{{\left( \dfrac{3+\sqrt{9-16a}}{4} \right)}^{2}}=0$
Giải nhanh bằng máy tính cho kết quả $a=0,421875$ thuộc khoảng $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{20} \right)$.
CáCh kháC: Giải như câu 45 đề số 2.
Đáp án B.