Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=3x$ và parabol $y=2{{x}^{2}}+a$ (a là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{4}{5};\dfrac{9}{10} \right)$
B. $\left( 0;\dfrac{4}{5} \right)$
C. $\left( 1;\dfrac{9}{8} \right)$
D. $\left( \dfrac{9}{10};1 \right)$
A. $\left( \dfrac{4}{5};\dfrac{9}{10} \right)$
B. $\left( 0;\dfrac{4}{5} \right)$
C. $\left( 1;\dfrac{9}{8} \right)$
D. $\left( \dfrac{9}{10};1 \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm $2{{x}^{2}}+a=3x\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x+a=0$ (1) có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =9-8a>0 \\
& \dfrac{a}{2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<\dfrac{9}{8} \\
& a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<a<\dfrac{9}{8}$
Khi $0<a<\dfrac{9}{8}$ phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$, theo đề
$\begin{aligned}
& {{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( 2{{x}^{2}}+a-3x \right)dx=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( -2{{x}^{2}}-a+3x \right)dx\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( 2{{x}^{2}}+a-3x \right)dx=0}}} \\
& \Leftrightarrow \left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+ax \right)\left| _{_{_{0}}}^{^{^{{{x}_{2}}}}}=0\Leftrightarrow \left( \dfrac{2}{3}x_{2}^{3}-\dfrac{3}{2}x_{2}^{2}+a{{x}_{2}} \right)=0\Rightarrow a=-\dfrac{2x_{2}^{2}}{3}+\dfrac{3{{x}_{2}}}{2} \right.\underset{{}}{\overset{{}}{\mathop{{}}}} (2) \\
\end{aligned}$
Từ (1) suy ra $a=-2x_{2}^{2}+3{{x}_{2}}$ thế vào (2) ta được: $a=\dfrac{27}{32}$. Vậy $a\in \left( \dfrac{4}{5};\dfrac{9}{10} \right)$
& \Delta =9-8a>0 \\
& \dfrac{a}{2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<\dfrac{9}{8} \\
& a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<a<\dfrac{9}{8}$
Khi $0<a<\dfrac{9}{8}$ phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$, theo đề
$\begin{aligned}
& {{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( 2{{x}^{2}}+a-3x \right)dx=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( -2{{x}^{2}}-a+3x \right)dx\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( 2{{x}^{2}}+a-3x \right)dx=0}}} \\
& \Leftrightarrow \left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+ax \right)\left| _{_{_{0}}}^{^{^{{{x}_{2}}}}}=0\Leftrightarrow \left( \dfrac{2}{3}x_{2}^{3}-\dfrac{3}{2}x_{2}^{2}+a{{x}_{2}} \right)=0\Rightarrow a=-\dfrac{2x_{2}^{2}}{3}+\dfrac{3{{x}_{2}}}{2} \right.\underset{{}}{\overset{{}}{\mathop{{}}}} (2) \\
\end{aligned}$
Từ (1) suy ra $a=-2x_{2}^{2}+3{{x}_{2}}$ thế vào (2) ta được: $a=\dfrac{27}{32}$. Vậy $a\in \left( \dfrac{4}{5};\dfrac{9}{10} \right)$
Đáp án A.