Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $d$ : $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z+1}{2}$ và mặt phẳng $(P)$ : $x-y-z-2=0$. Phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ trên $(P)$ là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1+2t \\
& z=2-3t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1+2t \\
& z=-2+3t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1-2t \\
& z=-2-3t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1+2t \\
& z=-2-3t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1+2t \\
& z=2-3t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1+2t \\
& z=-2+3t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1-2t \\
& z=-2-3t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1+2t \\
& z=-2-3t \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2 ; -3 ; 2 \right)$.
Mặt phẳng $(P)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1 ;-1 ; -1 \right)$.
Mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$ ;
Đường thẳng ${{d}^{'}}$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên $(P)$, $d'=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d'}}} , \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 5 ; 4 ; 1 \right)$
Véc tơ chỉ phương của ${{d}^{'}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}} , \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 3 ; -6 ; 9 \right)=-3\left( -1 ;2 ;-3 \right)$
Ta thấy đường thẳng ${{d}^{'}}$ thuộc $(P)$ nên điểm ${{M}_{0}}\in d' \Rightarrow {{M}_{0}} \in (P)$. Thay tọa độ điểm ${{M}_{0}}\left( 1 ; 1 ; -2 \right)$ ở đáp án A thấy thỏa mãn phương trình $(P)$.
Mặt phẳng $(P)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1 ;-1 ; -1 \right)$.
Mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$ ;
Đường thẳng ${{d}^{'}}$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên $(P)$, $d'=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d'}}} , \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 5 ; 4 ; 1 \right)$
Véc tơ chỉ phương của ${{d}^{'}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}} , \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 3 ; -6 ; 9 \right)=-3\left( -1 ;2 ;-3 \right)$
Ta thấy đường thẳng ${{d}^{'}}$ thuộc $(P)$ nên điểm ${{M}_{0}}\in d' \Rightarrow {{M}_{0}} \in (P)$. Thay tọa độ điểm ${{M}_{0}}\left( 1 ; 1 ; -2 \right)$ ở đáp án A thấy thỏa mãn phương trình $(P)$.
Đáp án D.