Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $d: y=g\left( x \right)$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+cx+d$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là ${{x}_{0}}=-1;{{x}_{1}};{{x}_{2}}$ và $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)}{x+1}}dx=\dfrac{-9}{2}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $\dfrac{37}{12}$.
C. $\dfrac{27}{4}$.
D. $\dfrac{45}{4}$.
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $\dfrac{37}{12}$.
C. $\dfrac{27}{4}$.
D. $\dfrac{45}{4}$.
Do đường thẳng $d: y=g\left( x \right)$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+cx+d$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là ${{x}_{0}}=-1;{{x}_{1}};{{x}_{2}}$ nên $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)}{x+1}=\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$
$\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)}{x+1}}dx=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)}\left( x-{{x}_{2}} \right)dx=\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{3}}}{6}=-\dfrac{9}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-3$
Mặt khác ta có $-1+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$
$\Rightarrow {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=3$ $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\left( x+1 \right)x\left( x-3 \right)$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng $\int\limits_{-1}^{3}{\left| \left( x+1 \right)x\left( x-3 \right) \right|}dx=\dfrac{71}{6}$
$\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{f\left( x \right)-g\left( x \right)}{x+1}}dx=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)}\left( x-{{x}_{2}} \right)dx=\dfrac{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{3}}}{6}=-\dfrac{9}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-3$
Mặt khác ta có $-1+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$
$\Rightarrow {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=3$ $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\left( x+1 \right)x\left( x-3 \right)$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng $\int\limits_{-1}^{3}{\left| \left( x+1 \right)x\left( x-3 \right) \right|}dx=\dfrac{71}{6}$
Đáp án A.