Google
Câu hỏi: Cho đường cong $\left( {{C}_{m}} \right):y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}-x+\dfrac{m}{3}$ có hai điểm cực trị A,B. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m để khoảng cách từ điểm $C\left( 2;1 \right)$ đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất. Tích các phần tử S bằng
A. $2\sqrt{2}$
B. 4
C. 2
D. -2
A. $2\sqrt{2}$
B. 4
C. 2
D. -2
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2mx-1$
Hàm số có 2 điểm cực trị khi ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$
Lấy y chia ${y}'$ tìm phần dư ta được phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là $y=-\dfrac{2}{3}\left( {{m}^{2}}+1 \right)x$
Khi đó đường thẳng AB luôn đi qua gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$ nên $d\left( C;AB \right)\le CO=\sqrt{5}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow OC\bot AB\Leftrightarrow {{k}_{OC}}.{{k}_{AB}}=-1\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.-\dfrac{2}{3}\left( {{m}^{2}}+1 \right)=-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=3\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}$
Tích các phần tử của S là $-2$.
Hàm số có 2 điểm cực trị khi ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$
Lấy y chia ${y}'$ tìm phần dư ta được phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là $y=-\dfrac{2}{3}\left( {{m}^{2}}+1 \right)x$
Khi đó đường thẳng AB luôn đi qua gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$ nên $d\left( C;AB \right)\le CO=\sqrt{5}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow OC\bot AB\Leftrightarrow {{k}_{OC}}.{{k}_{AB}}=-1\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.-\dfrac{2}{3}\left( {{m}^{2}}+1 \right)=-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=3\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}$
Tích các phần tử của S là $-2$.
Đáp án D.