Google
Câu hỏi: Cho đường cong ${(C)\colon y=x^3+kx+2}$ và parabol ${P\colon y=-x^2+2}$ tạo thành hai miền phẳng có diện tích ${S_1}$, ${S_2}$ như hình vẽ.
Biết rằng ${S_1=\dfrac{8}{3}}$, giá trị của ${S_2}$ bằng
A. ${\dfrac{1}{2}}$.
B. ${\dfrac{1}{4}}$.
C. ${\dfrac{3}{4}}$.
D. ${\dfrac{5}{12}}$.
${x^3+kx+2=-x^2+2\Leftrightarrow x\left(x^2+x+k\right)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x^2+x+k=0.\end{aligned}\right.}$
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt nên phương trình ${x^2+x+k=0}$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác ${0}$ và thỏa mãn ${x_1<0<x_2}$. Do đó ta có ${\left\{\begin{aligned}&k<0\\&x_2=-1-x_1\\&k=-x_1^2-x_1.\end{aligned}\right.}$
Trên đoạn ${[x_1;0]}$, ${x^3+kx+2\geq -x^2+2\Leftrightarrow x^3+x^2+kx\geq 0}$. Theo bài ra, diện tích ${S_1=\dfrac{8}{3}}$ nên
$\int\limits_{{{x}_{1}}}^{0}{\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+kx \right|\text{d}x}=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{{{x}_{1}}}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+kx \right)\text{d}x}=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{k{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{matrix}
0 \\
{{x}_{1}} \\
\end{matrix}=\dfrac{8}{3} \right.$
$\Leftrightarrow -\left( 3x_{1}^{4}+4x_{1}^{3}+6kx_{1}^{2} \right)=32\Leftrightarrow 3x_{1}^{4}+4x_{1}^{3}+6\left( -x_{1}^{2}-{{x}_{1}} \right)x_{1}^{2}=-32$
$\Leftrightarrow 3x_{1}^{4}+2x_{1}^{3}-32=0\Leftrightarrow ({{x}_{1}}+2)\left( 3x_{1}^{3}-4x_{1}^{2}+8{{x}_{1}}-16 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-2$ (vì ${{x}_{1}}<0$ )
Với ${x_1=-2\Rightarrow k=-2, x_2=1}$ và ${x^3+x^2-2x\leq 0, \forall x\in [0;1]}$, ta có
${S_2=-\int\limits_0^1 \left(x^3+x^2-2x\right)\mathrm{ d}x = -\left(\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x^2\right)\bigg|_0^1 = \dfrac{5}{12}.}$
A. ${\dfrac{1}{2}}$.
B. ${\dfrac{1}{4}}$.
C. ${\dfrac{3}{4}}$.
D. ${\dfrac{5}{12}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của ${(C)}$ và ${d}$ ${x^3+kx+2=-x^2+2\Leftrightarrow x\left(x^2+x+k\right)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x^2+x+k=0.\end{aligned}\right.}$
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt nên phương trình ${x^2+x+k=0}$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác ${0}$ và thỏa mãn ${x_1<0<x_2}$. Do đó ta có ${\left\{\begin{aligned}&k<0\\&x_2=-1-x_1\\&k=-x_1^2-x_1.\end{aligned}\right.}$
Trên đoạn ${[x_1;0]}$, ${x^3+kx+2\geq -x^2+2\Leftrightarrow x^3+x^2+kx\geq 0}$. Theo bài ra, diện tích ${S_1=\dfrac{8}{3}}$ nên
$\int\limits_{{{x}_{1}}}^{0}{\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+kx \right|\text{d}x}=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{{{x}_{1}}}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+kx \right)\text{d}x}=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{k{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{matrix}
0 \\
{{x}_{1}} \\
\end{matrix}=\dfrac{8}{3} \right.$
$\Leftrightarrow -\left( 3x_{1}^{4}+4x_{1}^{3}+6kx_{1}^{2} \right)=32\Leftrightarrow 3x_{1}^{4}+4x_{1}^{3}+6\left( -x_{1}^{2}-{{x}_{1}} \right)x_{1}^{2}=-32$
$\Leftrightarrow 3x_{1}^{4}+2x_{1}^{3}-32=0\Leftrightarrow ({{x}_{1}}+2)\left( 3x_{1}^{3}-4x_{1}^{2}+8{{x}_{1}}-16 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-2$ (vì ${{x}_{1}}<0$ )
Với ${x_1=-2\Rightarrow k=-2, x_2=1}$ và ${x^3+x^2-2x\leq 0, \forall x\in [0;1]}$, ta có
${S_2=-\int\limits_0^1 \left(x^3+x^2-2x\right)\mathrm{ d}x = -\left(\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x^2\right)\bigg|_0^1 = \dfrac{5}{12}.}$
Đáp án D.