Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y={{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}+1$. Gọi ${{A}_{1}}\left( 1; 5 \right)$ là điểm thuộc $\left( C \right)$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${{A}_{1}}$ cắt $\left( C \right)$ tại ${{A}_{2}}$, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${{A}_{2}}$ cắt $\left( C \right)$ tại ${{A}_{3}}$ …, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${{A}_{n}}$ cắt $\left( C \right)$ tại ${{A}_{n+1}}$. Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho ${{A}_{n}}$ có hoành độ lớn hơn ${{2}^{2018}}$ là
A. ${{2}^{2017}}$
B. 2019
C. ${{2}^{2018}}$
D. 2018
A. ${{2}^{2017}}$
B. 2019
C. ${{2}^{2018}}$
D. 2018
Gọi ${{A}_{k}}\left( {{x}_{k}}; x_{k}^{3}+3\text{x}_{k}^{2}+1 \right)\in \left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến tại ${{A}_{k}}$ là:
${{\Delta }_{k}}:y=\left( 3\text{x}_{k}^{2}+6{{\text{x}}_{k}} \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)+x_{k}^{3}+3\text{x}_{k}^{2}+1. {{A}_{k+1}}=\left( C \right)\cap {{\Delta }_{k}}, \left( {{x}_{k+1}}\ne {{x}_{k}} \right)$.
Suy ra ${{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}=\left( 3\text{x}_{k}^{2}+6{{\text{x}}_{k}} \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)+x_{k}^{3}+3\text{x}_{k}^{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{k}} \\
& {{x}^{2}}+x{{x}_{k}}+x_{k}^{2}+3\left( x+{{x}_{k}} \right)=3x_{k}^{2}+6{{x}_{k}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow x=-2{{x}_{k}}-3$ hay ${{x}_{k+1}}=-2{{x}_{k}}-3\Leftrightarrow \left( {{x}_{k+1}}+1 \right)=-2\left( {{x}_{k}}+1 \right)$.
$\Leftrightarrow {{y}_{k+1}}=-2{{y}_{k}}$ là một cấp số nhân với ${{y}_{1}}=2, q=-2.$
${{y}_{n}}={{y}_{1}}{{\left( -2 \right)}^{n-1}}=2.{{\left( -2 \right)}^{n-1}}\Rightarrow {{x}_{n}}+1=2.{{\left( -2 \right)}^{n-1}}\Rightarrow {{x}_{n}}=-1+2.{{\left( -2 \right)}^{n-1}}$
Vì theo đề ${{x}_{n}}>{{2}^{2018}}\Rightarrow n=2019$.
${{\Delta }_{k}}:y=\left( 3\text{x}_{k}^{2}+6{{\text{x}}_{k}} \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)+x_{k}^{3}+3\text{x}_{k}^{2}+1. {{A}_{k+1}}=\left( C \right)\cap {{\Delta }_{k}}, \left( {{x}_{k+1}}\ne {{x}_{k}} \right)$.
Suy ra ${{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}=\left( 3\text{x}_{k}^{2}+6{{\text{x}}_{k}} \right)\left( x-{{x}_{k}} \right)+x_{k}^{3}+3\text{x}_{k}^{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{k}} \\
& {{x}^{2}}+x{{x}_{k}}+x_{k}^{2}+3\left( x+{{x}_{k}} \right)=3x_{k}^{2}+6{{x}_{k}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow x=-2{{x}_{k}}-3$ hay ${{x}_{k+1}}=-2{{x}_{k}}-3\Leftrightarrow \left( {{x}_{k+1}}+1 \right)=-2\left( {{x}_{k}}+1 \right)$.
$\Leftrightarrow {{y}_{k+1}}=-2{{y}_{k}}$ là một cấp số nhân với ${{y}_{1}}=2, q=-2.$
${{y}_{n}}={{y}_{1}}{{\left( -2 \right)}^{n-1}}=2.{{\left( -2 \right)}^{n-1}}\Rightarrow {{x}_{n}}+1=2.{{\left( -2 \right)}^{n-1}}\Rightarrow {{x}_{n}}=-1+2.{{\left( -2 \right)}^{n-1}}$
Vì theo đề ${{x}_{n}}>{{2}^{2018}}\Rightarrow n=2019$.
Đáp án B.