Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-2{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}$ có đồ thị $(C)$. Gọi ${{x}_{1}},{{\text{x}}_{2}}$ là hoành độ các điểm M, N trên $(C)$ mà tại đó tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $y=-x+2017$. Khi đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ bằng
A. $-1$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. $\dfrac{-4}{3}$
A. $-1$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. $\dfrac{-4}{3}$
Ta có ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+2$.
Tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $y=-x+2017$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=1$.
Khi đó ${y}'({{x}_{M}})={y}'({{x}_{N}})=1$ hay ${{x}_{M}},{{\text{x}}_{N}}$ là nghiệm của phương trình ${y}'=1$
$\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+2=1\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+1=0$.
Vậy ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{x}_{M}}+{{x}_{N}}=\dfrac{4}{3}$ (theo định lý Vi-ét của phương trình bậc hai).
Tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $y=-x+2017$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=1$.
Khi đó ${y}'({{x}_{M}})={y}'({{x}_{N}})=1$ hay ${{x}_{M}},{{\text{x}}_{N}}$ là nghiệm của phương trình ${y}'=1$
$\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+2=1\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+1=0$.
Vậy ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{x}_{M}}+{{x}_{N}}=\dfrac{4}{3}$ (theo định lý Vi-ét của phương trình bậc hai).
Đáp án C.