Cho đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$ như hình vẽ bên. Số các giá trị...

Từ đồ thị hàm số của $y=f(x)$, ta có bảng biến thiên

Xét hàm số $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-mf(x)$, ta có $g'(x)=2f(x)f'(x)-mf'(x)=f'(x)[2f(x)-m]$.
Có $g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'(x)=0 \\
& f(x)=\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=a \\
& x=b \\
& f(x)=\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Do $g(x)$ là hàm đa thức bậc chẵn, có hệ số của bậc cao nhất là số dương nên để hàm số $g(x)$ có đúng hai điểm cực đại thì $g'(x)$ phải đổi dấu đúng 5 lần thì $g(x)$ sẽ có ba điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. Phương trình $f'(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt $x=0$, $x=a$, $x=b$. Vậy để ${g}'(x)$ phải đổi dấu đúng 5 lần thì phương trình $f(x)=\dfrac{m}{2}$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $0,a,b$ hoặc phương trình $f(x)=\dfrac{m}{2}$ có ba nghiệm, trong đó có đúng một nghiệm trùng $x=0$, $x=a$ hoặc $x=b$.
Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác $0,a,b$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\left[ \begin{aligned}
& 1<\dfrac{m}{2}<5 \\
& \dfrac{m}{2}<-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2<m<10 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 2: Phương trình $f(x)=\dfrac{m}{2}$ có ba nghiệm, trong đó có đúng một nghiệm trùng $x=0$, $x=a$ hoặc $x=b$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{m}{2}=1 \\
& \dfrac{m}{2}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp cả hai trường hợp ta có $2027$ số nguyên $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020 ; 2021 \right]$.