Google
Câu hỏi: Cho điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;2 \right),D\left( 2;2;2 \right)$. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có bán kính là
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
D. 3.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
D. 3.
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có dạng
$\left\{ \begin{aligned}
& 4-4a+d=0 \\
& 4-4b+d=0 \\
& 4-4c+d=0 \\
& 12-4a-4b-4c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=4a-4 \\
& a=b=c \\
& 12-12a+\left( 4a-4 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& a=b=c=1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I\left( 1;1;1 \right)$, do đó bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{3}$.
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có dạng
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$
Vì $A,B,C,D\in \left( S \right)$ nên ta có hệ phương trình$\left\{ \begin{aligned}
& 4-4a+d=0 \\
& 4-4b+d=0 \\
& 4-4c+d=0 \\
& 12-4a-4b-4c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=4a-4 \\
& a=b=c \\
& 12-12a+\left( 4a-4 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& a=b=c=1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I\left( 1;1;1 \right)$, do đó bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{3}$.
Đáp án B.