Google
Câu hỏi: Cho điểm $A\left( 1;1;1 \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=6-4t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right. $. Tọa độ điểm đối xứng của $ A $ qua $ d$ có tọa độ là
A. $\left( 2;-3;-1 \right)$.
B. $\left( 2;3;1 \right)$.
C. $\left( 3;-7;1 \right)$.
D. $\left( -3;5;1 \right)$.
& x=6-4t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right. $. Tọa độ điểm đối xứng của $ A $ qua $ d$ có tọa độ là
A. $\left( 2;-3;-1 \right)$.
B. $\left( 2;3;1 \right)$.
C. $\left( 3;-7;1 \right)$.
D. $\left( -3;5;1 \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $d$ $\Rightarrow H\in d$ $\Rightarrow H\left( 6-4t;-2-t;-1+2t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AH}=\left( 5-4t;-3-t;-2+2t \right)$, $d$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( -4;-1;2 \right)$.
Vì $AH\bot d$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0$ $\Leftrightarrow 24t-24=0$ $\Leftrightarrow t=1$ $\Rightarrow H\left( 2;-3;1 \right)$.
Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d$ suy ra $H$ là trung điểm $A{A}'$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{{{A}'}}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}} \\
& {{y}_{{{A}'}}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}} \\
& {{z}_{{{A}'}}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{{{A}'}}}=3 \\
& {{y}_{{{A}'}}}=-7 \\
& {{z}_{{{A}'}}}=1 \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow {A}'(3;-7;1)$.
Ta có $\overrightarrow{AH}=\left( 5-4t;-3-t;-2+2t \right)$, $d$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( -4;-1;2 \right)$.
Vì $AH\bot d$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0$ $\Leftrightarrow 24t-24=0$ $\Leftrightarrow t=1$ $\Rightarrow H\left( 2;-3;1 \right)$.
Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d$ suy ra $H$ là trung điểm $A{A}'$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{{{A}'}}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}} \\
& {{y}_{{{A}'}}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}} \\
& {{z}_{{{A}'}}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{{{A}'}}}=3 \\
& {{y}_{{{A}'}}}=-7 \\
& {{z}_{{{A}'}}}=1 \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow {A}'(3;-7;1)$.
Đáp án C.