Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;1;1 \right)$, $B\left( 2;1;0 \right)$, $C\left( 2;0;2 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $BC$ và cách $A$ một khoảng lớn nhất. Hỏi véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ ?
A. $\overrightarrow{n}=\left( 5;-2;-1 \right)$.
B. $\overrightarrow{n}=\left( 5;2;1 \right)$.
C. $\overrightarrow{n}=\left( -5;2;-1 \right)$.
D. $\overrightarrow{n}=\left( 5;2;-1 \right)$.
Kẻ $AH\bot \left( P \right), AI\bot BC$, Ta có: $d\left( A;\left( P \right) \right)=AH=d\left( A;\left( P \right) \right)\le AI$
Suy ra: $AI\bot \left( P \right).$ Gọi $BC:\left\{ \begin{aligned}
& B\left( 2;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{u}=\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;2 \right) \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra: $ BC:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right).$
Gọi $I\left( 2; 1-t; 2t \right)$. Ta có: $\overrightarrow{AI}=\left( -1;-t;2t-1 \right)$, $AI\bot BC$
$\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC}=t+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow 5t=2\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{5}.$ Suy ra: $\overrightarrow{AI}=\left( -1;-\dfrac{2}{5};-\dfrac{1}{5} \right).$ Chọn $\overrightarrow{n}=\left( 5;2;1 \right).$
A. $\overrightarrow{n}=\left( 5;-2;-1 \right)$.
B. $\overrightarrow{n}=\left( 5;2;1 \right)$.
C. $\overrightarrow{n}=\left( -5;2;-1 \right)$.
D. $\overrightarrow{n}=\left( 5;2;-1 \right)$.
Suy ra: $AI\bot \left( P \right).$ Gọi $BC:\left\{ \begin{aligned}
& B\left( 2;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{u}=\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;2 \right) \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra: $ BC:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right).$
Gọi $I\left( 2; 1-t; 2t \right)$. Ta có: $\overrightarrow{AI}=\left( -1;-t;2t-1 \right)$, $AI\bot BC$
$\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC}=t+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow 5t=2\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{5}.$ Suy ra: $\overrightarrow{AI}=\left( -1;-\dfrac{2}{5};-\dfrac{1}{5} \right).$ Chọn $\overrightarrow{n}=\left( 5;2;1 \right).$
Đáp án B.