Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\log {{u}_{1}}+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}=2\log {{u}_{10}}$ và ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}$ với mọi $n\ge 1.$ Giá trị nhỏ nhất của $n$ để ${{u}_{n}}>{{5}^{100}}$ bằng
A. 247.
B. 248.
C. 229.
D. 290.
A. 247.
B. 248.
C. 229.
D. 290.
Vì ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}$ nên dễ thấy dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q=2.$
Ta có: ${{u}_{10}}={{u}_{1}}.{{q}^{9}}={{2}^{9}}.{{u}_{1}}.$ Xét $\log {{u}_{1}}+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}=2\log {{u}_{10}}$
$\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-2\log \left( {{2}^{9}}.{{u}_{1}} \right)+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log \left( {{2}^{9}}.{{u}_{1}} \right)}=0$
$\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-18\log 2-2\log {{u}_{1}}+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-18\log 2-2\log {{u}_{1}}}=0$
$\Leftrightarrow -\log {{u}_{1}}-18\log 2+\sqrt{2-\log {{u}_{1}}-18\log 2}=0$
Đặt $\sqrt{2-\log {{u}_{1}}-18\log 2}=t\left( t\ge 0 \right)$. Phương trình trên trở thành:
${{t}^{2}}-2+t\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-2\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $t=1\Leftrightarrow \sqrt{2-\log {{u}_{1}}-18\log 2}=1\Leftrightarrow 2-\log {{u}_{1}}-18\log 2=1\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{5}{{{2}^{17}}}$
Trong trường hợp này ta có: ${{u}_{n}}=\dfrac{5}{{{2}^{17}}}{{.2}^{n-1}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{2}^{n-18}}>{{5}^{99}}\Leftrightarrow n>99{{\log }_{2}}5+18$
Mà $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là $n=248$.
Ta có: ${{u}_{10}}={{u}_{1}}.{{q}^{9}}={{2}^{9}}.{{u}_{1}}.$ Xét $\log {{u}_{1}}+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}=2\log {{u}_{10}}$
$\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-2\log \left( {{2}^{9}}.{{u}_{1}} \right)+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log \left( {{2}^{9}}.{{u}_{1}} \right)}=0$
$\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-18\log 2-2\log {{u}_{1}}+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-18\log 2-2\log {{u}_{1}}}=0$
$\Leftrightarrow -\log {{u}_{1}}-18\log 2+\sqrt{2-\log {{u}_{1}}-18\log 2}=0$
Đặt $\sqrt{2-\log {{u}_{1}}-18\log 2}=t\left( t\ge 0 \right)$. Phương trình trên trở thành:
${{t}^{2}}-2+t\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-2\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $t=1\Leftrightarrow \sqrt{2-\log {{u}_{1}}-18\log 2}=1\Leftrightarrow 2-\log {{u}_{1}}-18\log 2=1\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{5}{{{2}^{17}}}$
Trong trường hợp này ta có: ${{u}_{n}}=\dfrac{5}{{{2}^{17}}}{{.2}^{n-1}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow {{2}^{n-18}}>{{5}^{99}}\Leftrightarrow n>99{{\log }_{2}}5+18$
Mà $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là $n=248$.
Đáp án B.