Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right):\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}=2 \\
{{u}_{n+1}}+4{{u}_{n}}=4-5n \\
\end{array} \right. $ với $ n\ge 1. $ Giá trị của $ {{u}_{2018}}-2{{u}_{2017}}$ bằng
A. $2015-{{3.4}^{2017}}.$
B. $2016-{{3.4}^{2018}}.$
C. $2016+{{3.4}^{2018}}.$
D. $2015+{{3.4}^{2017}}.$
{{u}_{1}}=2 \\
{{u}_{n+1}}+4{{u}_{n}}=4-5n \\
\end{array} \right. $ với $ n\ge 1. $ Giá trị của $ {{u}_{2018}}-2{{u}_{2017}}$ bằng
A. $2015-{{3.4}^{2017}}.$
B. $2016-{{3.4}^{2018}}.$
C. $2016+{{3.4}^{2018}}.$
D. $2015+{{3.4}^{2017}}.$
Ta có ${{u}_{n+1}}+4{{u}_{n}}=4-5n\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}=-4{{u}_{n}}-5n+4\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}+n=-4\left( {{u}_{n}}+n-1 \right)\left( * \right).$
Đặt ${{v}_{n+1}}={{u}_{n+1}}+n$ suy ra ${{v}_{n}}={{u}_{n}}+n-1,$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{v}_{n+1}}=-4{{v}_{n}}$
Do đó ${{v}_{n}}$ là cấp số nhân với công bội $q=-4\Rightarrow {{v}_{n}}={{\left( -4 \right)}^{n-1}}{{v}_{1}}.$
Mà ${{v}_{1}}={{u}_{1}}=2$ nên suy ra ${{v}_{n}}=2.{{\left( -4 \right)}^{n-1}}\to {{u}_{n}}=2.{{\left( -4 \right)}^{n-1}}-n+1.$
Vậy $S={{u}_{2018}}-2{{u}_{2017}}=2.{{\left( -4 \right)}^{2017}}-2017-2\left[ 2.{{\left( -4 \right)}^{2016}}-2016 \right]=2015-{{3.4}^{2017}}.$ Chọn A
Đặt ${{v}_{n+1}}={{u}_{n+1}}+n$ suy ra ${{v}_{n}}={{u}_{n}}+n-1,$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{v}_{n+1}}=-4{{v}_{n}}$
Do đó ${{v}_{n}}$ là cấp số nhân với công bội $q=-4\Rightarrow {{v}_{n}}={{\left( -4 \right)}^{n-1}}{{v}_{1}}.$
Mà ${{v}_{1}}={{u}_{1}}=2$ nên suy ra ${{v}_{n}}=2.{{\left( -4 \right)}^{n-1}}\to {{u}_{n}}=2.{{\left( -4 \right)}^{n-1}}-n+1.$
Vậy $S={{u}_{2018}}-2{{u}_{2017}}=2.{{\left( -4 \right)}^{2017}}-2017-2\left[ 2.{{\left( -4 \right)}^{2016}}-2016 \right]=2015-{{3.4}^{2017}}.$ Chọn A
Đáp án A.