Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{...

Áp dụng tính chất cấp số cộng ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right).d$ trong đó d được gọi là công sai.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{9}}=5{{u}_{2}} \\
& {{u}_{13}}=2{{u}_{6}}+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}+8d=5\left( {{u}_{1}}+d \right) \\
& {{u}_{1}}+12d=2\left( {{u}_{1}}+5d \right)+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{u}_{1}}-3d=0 \\
& {{u}_{1}}-2d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=3 \\
& d=4 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ${{u}_{21}}={{u}_{1}}+20d=3+20.4=83.$