Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ thoả mãn $x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right).$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}-3$ bằng
A. $-2.$
B. 3.
C. 5.
D. 2.
A. $-2.$
B. 3.
C. 5.
D. 2.
Ta có $x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x-2}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{y+3}-1 \right)}^{2}}=2.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{x-2}-1=\sqrt{2}\sin \varphi \\
& \sqrt{y+3}-1=\sqrt{{}}\cos \varphi \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{x-2}=\sqrt{2}\sin \varphi +1 \\
& \sqrt{y+3}=\sqrt{2}\cos \varphi +1 \\
\end{aligned} \right..$
Xét $P=\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}-2=\sqrt{2}\left( \sin \varphi +\cos \varphi \right)=2\sin \left( \varphi +\dfrac{\pi }{2} \right)\le 2.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{x-2}-1=\sqrt{2}\sin \varphi \\
& \sqrt{y+3}-1=\sqrt{{}}\cos \varphi \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{x-2}=\sqrt{2}\sin \varphi +1 \\
& \sqrt{y+3}=\sqrt{2}\cos \varphi +1 \\
\end{aligned} \right..$
Xét $P=\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}-2=\sqrt{2}\left( \sin \varphi +\cos \varphi \right)=2\sin \left( \varphi +\dfrac{\pi }{2} \right)\le 2.$
Đáp án D.