Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${{\left( x-4...

Ta có ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+2xy\le 32\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-8\left( x+y \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le x+y\le 8$
$\begin{aligned}
& A={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3\left( xy-1 \right)\left( x+y-2 \right)={{\left( x+y \right)}^{3}}-3\left( x+y \right)-6xy+6 \\
& \Rightarrow A\ge {{\left( x+y \right)}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{\left( x+y \right)}^{2}}-3\left( x+y \right)+6 \\
\end{aligned}$
Đặt $t=x+y$. Do $0\le x+y\le 8$ nên $t\in \left[ 0;8 \right]$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{t}^{2}}-3t+6$ trên $\left[ 0;8 \right]$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3t-3,{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $t=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ (loại).
$f\left( 0 \right)=6,f\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=\dfrac{17-5\sqrt{5}}{4};f\left( 8 \right)=398$. Suy ra $A\ge \dfrac{17-5\sqrt{5}}{4}$
Khi $x=y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\dfrac{17-5\sqrt{5}}{4}$