Cho các số thực $x,y\ge 1$ thỏa mãn điều kiện $xy\le 4$. Biểu thức...

Chuẩn hóa $xy=4\Rightarrow y=\dfrac{4}{x}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}y={{\log }_{2}}\dfrac{4}{x}=2-{{\log }_{2}}x$
Do đó $P=\dfrac{{{\log }_{2}}\left( 8x \right)}{{{\log }_{2}}\left( 4x \right)}-\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{{{y}^{2}}}{2}}{{{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}} \right)}=\dfrac{3+{{\log }_{2}}x}{2+{{\log }_{2}}x}-\dfrac{2{{\log }_{2}}y-1}{2{{\log }_{2}}y+1}$
Đặt n $t={{\log }_{2}}x$ mà $x\in \left[ 1;4 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]$ nên $P=\dfrac{t+3}{t+2}-\dfrac{3-2t}{5-2t}=\dfrac{t+3}{t+2}-\dfrac{2t-3}{2t-5}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t+3}{t+2}-\dfrac{2t-3}{2t-5}$ trên $\left[ 0;2 \right]$, có ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{4}$
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( \dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{9}{8}$. Dấu bằng xảy ra khi $t=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x=\dfrac{1}{4} \\
& {{\log }_{2}}y=\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{x}_{0}}={{2}^{\dfrac{1}{4}}}, {{y}_{0}}={{2}^{\dfrac{7}{4}}}\to x_{0}^{4}+y_{0}^{4}=130$.