Google
Câu hỏi: Cho các số thực dương $x,y$ thay đổi thỏa mãn $\log \left( x+2y \right)=\log x+\log y$. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt[4]{{{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{1+2y}}}}.{{e}^{\dfrac{{{y}^{2}}}{1+x}}}$ là ${{e}^{\dfrac{a}{b}}}$ với $a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tính $S=a-b$
A. 3.
B. 4.
C. 13.
D. 11.
A. 3.
B. 4.
C. 13.
D. 11.
Ta có $\log \left( x+2y \right)=\log x+\log y\Leftrightarrow \log \left( x+2y \right)=\log xy\Leftrightarrow x+2y=xy\Leftrightarrow \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=1.$
$P=\sqrt[4]{{{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{1+2y}}}}.{{e}^{\dfrac{{{y}^{2}}}{1+x}}}={{e}^{\dfrac{{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}{1+2y}}}.{{e}^{\dfrac{{{y}^{2}}}{1+2.\dfrac{x}{2}}}}={{e}^{\dfrac{{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}{1+2y}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1+2.\dfrac{x}{2}}}}={{e}^{\dfrac{{{a}^{2}}}{1+2b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{1+2a}}},$ với $a=\dfrac{x}{2},b=y.$
Xét biểu thức $\dfrac{{{a}^{2}}}{x+2b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{1+2a}\ge \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{2\left( a+b \right)+2}$
Mà $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\Leftrightarrow a+b=ab\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow a+b\ge 4.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{2t+2}$ trên $\left[ 4;+\infty \right)\xrightarrow{t=a+b}\underset{\left[ 4;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 4 \right)=\dfrac{8}{5}.$
Do đó, giá trị nhỏ nhất của $P$ là ${{e}^{\dfrac{8}{5}}}={{e}^{\dfrac{a}{b}}}\to \left\{ \begin{aligned}
& a=8 \\
& b=5 \\
\end{aligned} \right.. $ Vậy $ S=a+b=13.$
$P=\sqrt[4]{{{e}^{\dfrac{{{x}^{2}}}{1+2y}}}}.{{e}^{\dfrac{{{y}^{2}}}{1+x}}}={{e}^{\dfrac{{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}{1+2y}}}.{{e}^{\dfrac{{{y}^{2}}}{1+2.\dfrac{x}{2}}}}={{e}^{\dfrac{{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}{1+2y}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1+2.\dfrac{x}{2}}}}={{e}^{\dfrac{{{a}^{2}}}{1+2b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{1+2a}}},$ với $a=\dfrac{x}{2},b=y.$
Xét biểu thức $\dfrac{{{a}^{2}}}{x+2b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{1+2a}\ge \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{2\left( a+b \right)+2}$
Mà $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\Leftrightarrow a+b=ab\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow a+b\ge 4.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}}{2t+2}$ trên $\left[ 4;+\infty \right)\xrightarrow{t=a+b}\underset{\left[ 4;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 4 \right)=\dfrac{8}{5}.$
Do đó, giá trị nhỏ nhất của $P$ là ${{e}^{\dfrac{8}{5}}}={{e}^{\dfrac{a}{b}}}\to \left\{ \begin{aligned}
& a=8 \\
& b=5 \\
\end{aligned} \right.. $ Vậy $ S=a+b=13.$
Đáp án C.