Google
Câu hỏi: Cho các số thực dương ${x}$ và ${y}$ thỏa mãn ${4+3^{2x^2-y+2}=\left(4+9^{2x^2-y}\right)\cdot{7^{y-2x^2+2}}.}$ Khi biểu thức ${P=\dfrac{x+y+10}{x}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng ${x+y}$ bằng.
A. ${1+8\sqrt{2}}$.
B. ${8}$.
C. ${9}$.
D. ${1+9\sqrt{2}}$.
A. ${1+8\sqrt{2}}$.
B. ${8}$.
C. ${9}$.
D. ${1+9\sqrt{2}}$.
Ta có ${4+3^{2x^2-y+2}=\left(4+9^{2x^2-y}\right)\cdot{7^{y-2x^2+2}}}$
${\Leftrightarrow\quad{7^{2x^2-y}}\left(4+9\cdot{3^{2x^2-y}}\right)=49\left(4+9^{2x^2-y}\right)}$
${\Leftrightarrow\quad 4\cdot{7^{2x^2-y}}+9\cdot{21^{2x^2-y}}-49\cdot{9^{2x^2-y}}-196=0}$. (*)
Đặt ${t=2x^2-y,}$ ta được ${(*)\Leftrightarrow 4\cdot{7^t}+9\cdot{21^t}-49\cdot{9^t}-196=0\Leftrightarrow\dfrac{4+3^{t+2}}{7^{t+2}}=\dfrac{4+3^{2t}}{7^{2t}}}$.
Xét hàm số ${f(a)=\dfrac{4+3^a}{7^a}=4\cdot{\left(\dfrac{1}{7}\right)^a}+\left(\dfrac{3}{7}\right)^a}$ là hàm số nghịch biến trên ${\mathbb{R}}$.
Do đó ${(*)\Leftrightarrow f(t+2)=f(2t)\Leftrightarrow t+2=2t\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow 2x^2-y=2}$
Khi đó ${P=\dfrac{2x^2+x+8}{x}=2x+\dfrac{8}{x}+1\ge 2\sqrt{2x\cdot\dfrac{8}{x}}+1=9}$.
Vậy ${P_{\min}=9}$ khi ${x=2}$ và ${y=6}$, hay ${x+y=8}$.
${\Leftrightarrow\quad{7^{2x^2-y}}\left(4+9\cdot{3^{2x^2-y}}\right)=49\left(4+9^{2x^2-y}\right)}$
${\Leftrightarrow\quad 4\cdot{7^{2x^2-y}}+9\cdot{21^{2x^2-y}}-49\cdot{9^{2x^2-y}}-196=0}$. (*)
Đặt ${t=2x^2-y,}$ ta được ${(*)\Leftrightarrow 4\cdot{7^t}+9\cdot{21^t}-49\cdot{9^t}-196=0\Leftrightarrow\dfrac{4+3^{t+2}}{7^{t+2}}=\dfrac{4+3^{2t}}{7^{2t}}}$.
Xét hàm số ${f(a)=\dfrac{4+3^a}{7^a}=4\cdot{\left(\dfrac{1}{7}\right)^a}+\left(\dfrac{3}{7}\right)^a}$ là hàm số nghịch biến trên ${\mathbb{R}}$.
Do đó ${(*)\Leftrightarrow f(t+2)=f(2t)\Leftrightarrow t+2=2t\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow 2x^2-y=2}$
Khi đó ${P=\dfrac{2x^2+x+8}{x}=2x+\dfrac{8}{x}+1\ge 2\sqrt{2x\cdot\dfrac{8}{x}}+1=9}$.
Vậy ${P_{\min}=9}$ khi ${x=2}$ và ${y=6}$, hay ${x+y=8}$.
Đáp án B.