Google
Câu hỏi: Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( \dfrac{b}{2a+2} \right)=a-b$. Giá trị nhỏ nhất của $P=b+\dfrac{9}{a+2}$ là
A. 7.
B. 5.
C. 6.
D. 4.
A. 7.
B. 5.
C. 6.
D. 4.
Phương pháp:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{b}{2a+2} \right)=a-b.$
Sử dụng BĐT Cô si để đánh giá GTNN của P.
Cách giải:
Với $a,b>0$ ta có: ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{b}{2a+2} \right)=a-b\Leftrightarrow {{\log }_{2}}b-{{\log }_{2}}\left( a+1 \right)-1=a-b\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( a+1 \right)+a+1={{\log }_{2}}b+b\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right):f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t>0\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên 0;.
Khi đó: (*) $\Leftrightarrow a+1=b.$
$P=b+\dfrac{9}{a+2}=a+1+\dfrac{9}{a+2}=\left( a+2+\dfrac{9}{a+2} \right)-1\ge 2\sqrt{\left( a+2 \right).\dfrac{9}{a+2}}-1=2.3-1=5.$
Đẳng thức xảy ra khi $a+2=\dfrac{9}{a+2}\Rightarrow a=1.$
$\Rightarrow {{P}_{\min }}=5$ khi $a=1,b=2.$
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{b}{2a+2} \right)=a-b.$
Sử dụng BĐT Cô si để đánh giá GTNN của P.
Cách giải:
Với $a,b>0$ ta có: ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{b}{2a+2} \right)=a-b\Leftrightarrow {{\log }_{2}}b-{{\log }_{2}}\left( a+1 \right)-1=a-b\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( a+1 \right)+a+1={{\log }_{2}}b+b\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right):f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t>0\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên 0;.
Khi đó: (*) $\Leftrightarrow a+1=b.$
$P=b+\dfrac{9}{a+2}=a+1+\dfrac{9}{a+2}=\left( a+2+\dfrac{9}{a+2} \right)-1\ge 2\sqrt{\left( a+2 \right).\dfrac{9}{a+2}}-1=2.3-1=5.$
Đẳng thức xảy ra khi $a+2=\dfrac{9}{a+2}\Rightarrow a=1.$
$\Rightarrow {{P}_{\min }}=5$ khi $a=1,b=2.$
Đáp án B.