Google
Câu hỏi: Cho $a, b$ là các số thực thay đổi thỏa mãn $1<a<b\le 2$. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2{{\log }_{a}}\left( {{b}^{2}}+4b-4 \right)+9{{\left( {{\log }_{\dfrac{b}{a}}}a \right)}^{2}}$ là $9\sqrt[3]{m} +n$, (với $m, n$ là các số nguyên dương). Khi đó, giá trị của biểu thức $F=2m+3n+1$ bằng
A. $38$.
B. $37$.
C. $25$.
D. $24$.
A. $38$.
B. $37$.
C. $25$.
D. $24$.
Ta có: $\left( b-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)\le 0\Leftrightarrow {{b}^{2}}+4b-4\ge {{b}^{3}}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\left( {{b}^{2}}+4b-4 \right)\ge {{\log }_{a}}{{b}^{3}}=3{{\log }_{a}}b$.
Từ đó suy ra: $P=2{{\log }_{a}}\left( {{b}^{2}}+4b-4 \right)+9{{\left( {{\log }_{\dfrac{b}{a}}}a \right)}^{2}}\ge 6{{\log }_{a}}b+9{{\left( \dfrac{1}{{{\log }_{a}}b-1} \right)}^{2}}$.
Đặt $t={{\log }_{a}}b$, $t>1$. Suy ra $P\ge 6t+\dfrac{9}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=3\left( t-1 \right)+3\left( t-1 \right)+\dfrac{9}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}+6$
$\ge 3\sqrt[3]{3\left( t-1 \right).3\left( t-1 \right).\dfrac{9}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}}+6=9\sqrt[3]{3}+6$, khi $t=\sqrt[3]{3}+1$.
Vậy $F=2m+3n+1=6+18+1=25$.
Từ đó suy ra: $P=2{{\log }_{a}}\left( {{b}^{2}}+4b-4 \right)+9{{\left( {{\log }_{\dfrac{b}{a}}}a \right)}^{2}}\ge 6{{\log }_{a}}b+9{{\left( \dfrac{1}{{{\log }_{a}}b-1} \right)}^{2}}$.
Đặt $t={{\log }_{a}}b$, $t>1$. Suy ra $P\ge 6t+\dfrac{9}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=3\left( t-1 \right)+3\left( t-1 \right)+\dfrac{9}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}+6$
$\ge 3\sqrt[3]{3\left( t-1 \right).3\left( t-1 \right).\dfrac{9}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}}+6=9\sqrt[3]{3}+6$, khi $t=\sqrt[3]{3}+1$.
Vậy $F=2m+3n+1=6+18+1=25$.
Đáp án C.