Google
Câu hỏi: Cho các số thực $a>3,b>1,c>1$ thỏa mãn ${{\log }_{a\left( b+2c \right)}}\dfrac{bc\left( a-3 \right)}{ab+2ca}+{{\log }_{bc\left( a-3 \right)}}\left( ab+2ac \right)=1$.
Giá trị nhỏ nhất của $T=a+b+c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 16;17 \right)$.
B. $\left( 17;18 \right)$.
C. $\left( 18;19 \right)$.
D. $\left( 19;20 \right)$.
Giá trị nhỏ nhất của $T=a+b+c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 16;17 \right)$.
B. $\left( 17;18 \right)$.
C. $\left( 18;19 \right)$.
D. $\left( 19;20 \right)$.
Ta có ${{\log }_{a(b+2c)}}\dfrac{bc(a-3)}{ab+2ca}+{{\log }_{bc(a-3)}}(ab+2ac)=1$ $\Leftrightarrow {{\log }_{a(b+2c)}}\left( bc(a-3) \right)+{{\log }_{bc(a-3)}}(ab+2ac)=2$ (1)
Do $a>3,b>1,c>1$ nên $a(b+2c)>1$.
Nếu $0<bc(a-3)<1$ thì vế trái (1) âm, do đó $bc(a-3)>1$.
Khi đó ta có ${{\log }_{a(b+2c)}}\left( bc(a-3) \right)+{{\log }_{bc(a-3)}}(ab+2ac)\ge 2\sqrt{{{\log }_{a(b+2c)}}\left( bc(a-3) \right).{{\log }_{bc(a-3)}}(ab+2ac)}=2$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a(b+2c)=bc(a-3)\Leftrightarrow ab+2ac+3bc=abc\Leftrightarrow \dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{a}=1.$
Như vậy $T=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{a} \right)=\left( \dfrac{3b}{a}+\dfrac{2a}{b} \right)+\left( \dfrac{3c}{a}+\dfrac{a}{c} \right)+\left( \dfrac{b}{c}+\dfrac{2c}{b} \right)+6$
$\ge 2\left( \sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2} \right)+6={{\left( 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}^{2}}$.
Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& a=c\sqrt{3} \\
& b=c\sqrt{2} \\
& \dfrac{3}{c\sqrt{3}}+\dfrac{2}{c\sqrt{2}}+\dfrac{1}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3+\sqrt{3}+\sqrt{6} \\
& b=2+\sqrt{2}+\sqrt{6} \\
& c=1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\min T={{\left( 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}^{2}}\approx 17,19$.
Do $a>3,b>1,c>1$ nên $a(b+2c)>1$.
Nếu $0<bc(a-3)<1$ thì vế trái (1) âm, do đó $bc(a-3)>1$.
Khi đó ta có ${{\log }_{a(b+2c)}}\left( bc(a-3) \right)+{{\log }_{bc(a-3)}}(ab+2ac)\ge 2\sqrt{{{\log }_{a(b+2c)}}\left( bc(a-3) \right).{{\log }_{bc(a-3)}}(ab+2ac)}=2$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a(b+2c)=bc(a-3)\Leftrightarrow ab+2ac+3bc=abc\Leftrightarrow \dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{a}=1.$
Như vậy $T=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{a} \right)=\left( \dfrac{3b}{a}+\dfrac{2a}{b} \right)+\left( \dfrac{3c}{a}+\dfrac{a}{c} \right)+\left( \dfrac{b}{c}+\dfrac{2c}{b} \right)+6$
$\ge 2\left( \sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2} \right)+6={{\left( 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}^{2}}$.
Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& a=c\sqrt{3} \\
& b=c\sqrt{2} \\
& \dfrac{3}{c\sqrt{3}}+\dfrac{2}{c\sqrt{2}}+\dfrac{1}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3+\sqrt{3}+\sqrt{6} \\
& b=2+\sqrt{2}+\sqrt{6} \\
& c=1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\min T={{\left( 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}^{2}}\approx 17,19$.
Đáp án B.