Google
Câu hỏi: Cho các số dương $a, b$ thay đổi luôn thỏa mãn $b>a>1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\log }_{a}}b+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b-1}$.
A. $2\sqrt{2}$
B. $\dfrac{13}{4}$
C. $3$
D. $3\sqrt{2}$
A. $2\sqrt{2}$
B. $\dfrac{13}{4}$
C. $3$
D. $3\sqrt{2}$
Đặt ${{\log }_{a}}b=t$. Do $1<a<b\Rightarrow {{\log }_{a}}b>1\Rightarrow t>1$. Áp dụng BĐT Co-si cho 2 số dương $t-1;\dfrac{1}{t-1}$
Ta có: $P=t+\dfrac{1}{t-1}=(t-1+\dfrac{1}{t-1})+1\ge 2\sqrt{(t-1).\dfrac{1}{t-1}}+1=3$.
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow t-1=\dfrac{1}{t-1}\Leftrightarrow t=2$. Vậy GTNN của $P$ bằng 3 khi $b={{a}^{2}}.$.
Ta có: $P=t+\dfrac{1}{t-1}=(t-1+\dfrac{1}{t-1})+1\ge 2\sqrt{(t-1).\dfrac{1}{t-1}}+1=3$.
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow t-1=\dfrac{1}{t-1}\Leftrightarrow t=2$. Vậy GTNN của $P$ bằng 3 khi $b={{a}^{2}}.$.
Đáp án D.
