Google
Câu hỏi: Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn $a>\dfrac{1}{5}, b>1$. Giá trị nhỏ nhất của ${{\log }_{5a}}b+{{\log }_{b}}\left( {{a}^{4}}-25{{a}^{2}}+625 \right)$ bằng
A. $2\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Ta có ${{\left( {{a}^{2}}-25 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{4}}-50{{a}^{2}}+625\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{4}}-25{{a}^{2}}+625\ge 25{{a}^{2}}$ với mọi $a$.
Xét biểu thức $P={{\log }_{5a}}b+{{\log }_{b}}\left( {{a}^{4}}-25{{a}^{2}}+625 \right)$
Khi đó: $P\ge {{\log }_{5a}}b+{{\log }_{b}}\left( 25{{a}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow P\ge {{\log }_{5a}}b+2{{\log }_{b}}\left( 5a \right)$
$\Leftrightarrow P\ge {{\log }_{5a}}b+\dfrac{2}{{{\log }_{5a}}b}\ge 2\sqrt{2}$ với mọi $a>\dfrac{1}{5}, b>1$. (bất đẳng thức Cauchy)
Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2\sqrt{2}$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Ta có ${{\left( {{a}^{2}}-25 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{4}}-50{{a}^{2}}+625\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{4}}-25{{a}^{2}}+625\ge 25{{a}^{2}}$ với mọi $a$.
Xét biểu thức $P={{\log }_{5a}}b+{{\log }_{b}}\left( {{a}^{4}}-25{{a}^{2}}+625 \right)$
Khi đó: $P\ge {{\log }_{5a}}b+{{\log }_{b}}\left( 25{{a}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow P\ge {{\log }_{5a}}b+2{{\log }_{b}}\left( 5a \right)$
$\Leftrightarrow P\ge {{\log }_{5a}}b+\dfrac{2}{{{\log }_{5a}}b}\ge 2\sqrt{2}$ với mọi $a>\dfrac{1}{5}, b>1$. (bất đẳng thức Cauchy)
Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2\sqrt{2}$.
Đáp án D.