Cho các số thực a, b, m, n sao cho $2m+n<0$ và thỏa mãn điều kiện...

Ta có:
.
Gọi , suy ra có tâm , bán kính .
Lại có
.
Với mọi m, n thỏa mãn , ta có:

Suy ra
Do đó .
Gọi , suy ra .
Ta có: .
, suy ra đường thẳng không cắt đường tròn .
Do đó HK ngắn nhất khi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng và điểm H là giao điểm của đoạn thẳng IK với đường tròn .
Lúc đó .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng .