Google
Câu hỏi: Cho các số thực a, b, m, n sao cho $2m+n<0$ và thỏa mãn điều kiện
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9 \right)=1+{{\log }_{2}}\left( 3a+2b \right) \\
& {{9}^{-m}}{{.3}^{-n}}{{.3}^{\dfrac{-4}{2m+n}}}+\ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]=81 \\
\end{aligned} \right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{{{\left( a-m \right)}^{2}}+{{\left( b-n \right)}^{2}}}$.
A. 2.
B. $2\sqrt{5}-2$.
C. $\sqrt{5}-2$.
D. $2\sqrt{5}$.
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9 \right)=1+{{\log }_{2}}\left( 3a+2b \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9 \right)={{\log }_{2}}\left[ 2\left( 3a+2b \right) \right]$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9=6a+4b\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=4$.
Gọi $H\left( a;b \right)$, suy ra $H\in \left( C \right)$ có tâm $I\left( 3;2 \right)$, bán kính $R=2$.
Lại có ${{9}^{-m}}{{.3}^{-n}}{{.3}^{\dfrac{-4}{2m+n}}}+\ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]=81$
$\Leftrightarrow {{3}^{\left( -2m+n \right)+\left( \dfrac{-4}{2m+n} \right)}}+\ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]=81\left( 1 \right)$.
Với mọi m, n thỏa mãn $2m+n<0$, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& -\left( 2m+n \right)+\dfrac{-4}{2m+n}\ge 2\sqrt{-\left( 2m+n \right).\left( \dfrac{-4}{2m+n} \right)}=4\Rightarrow {{3}^{-\left( 2m+n \right)+\left( \dfrac{-4}{2m+n} \right)}}\ge 81 \\
& \ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]\ge \ln 1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{3}^{-\left( 2m+n \right)+\left( \dfrac{-4}{2m+n} \right)}}+\ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]\ge 81$
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\left( 2m+n \right)=\dfrac{-4}{2m+n} \\
& 2m+n+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2m+n+2=0$.
Gọi $K\left( m;n \right)$, suy ra $K\in \Delta :2x+y+2=0$.
Ta có: $P=\sqrt{{{\left( a-m \right)}^{2}}+{{\left( b-n \right)}^{2}}}=HK$.
$d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| 2.3+2+2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=2\sqrt{5}>2$, suy ra đường thẳng $\Delta $ không cắt đường tròn $\left( C \right)$.
Do đó HK ngắn nhất khi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng $\Delta $ và điểm H là giao điểm của đoạn thẳng IK với đường tròn $\left( C \right)$.
Lúc đó $HK=IK-IH=2\sqrt{5}-2$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $2\sqrt{5}-2$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9 \right)=1+{{\log }_{2}}\left( 3a+2b \right) \\
& {{9}^{-m}}{{.3}^{-n}}{{.3}^{\dfrac{-4}{2m+n}}}+\ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]=81 \\
\end{aligned} \right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{{{\left( a-m \right)}^{2}}+{{\left( b-n \right)}^{2}}}$.
A. 2.
B. $2\sqrt{5}-2$.
C. $\sqrt{5}-2$.
D. $2\sqrt{5}$.
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9 \right)=1+{{\log }_{2}}\left( 3a+2b \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9 \right)={{\log }_{2}}\left[ 2\left( 3a+2b \right) \right]$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9=6a+4b\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=4$.
Gọi $H\left( a;b \right)$, suy ra $H\in \left( C \right)$ có tâm $I\left( 3;2 \right)$, bán kính $R=2$.
Lại có ${{9}^{-m}}{{.3}^{-n}}{{.3}^{\dfrac{-4}{2m+n}}}+\ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]=81$
$\Leftrightarrow {{3}^{\left( -2m+n \right)+\left( \dfrac{-4}{2m+n} \right)}}+\ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]=81\left( 1 \right)$.
Với mọi m, n thỏa mãn $2m+n<0$, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& -\left( 2m+n \right)+\dfrac{-4}{2m+n}\ge 2\sqrt{-\left( 2m+n \right).\left( \dfrac{-4}{2m+n} \right)}=4\Rightarrow {{3}^{-\left( 2m+n \right)+\left( \dfrac{-4}{2m+n} \right)}}\ge 81 \\
& \ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]\ge \ln 1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{3}^{-\left( 2m+n \right)+\left( \dfrac{-4}{2m+n} \right)}}+\ln \left[ {{\left( 2m+n+2 \right)}^{2}}+1 \right]\ge 81$
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\left( 2m+n \right)=\dfrac{-4}{2m+n} \\
& 2m+n+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2m+n+2=0$.
Gọi $K\left( m;n \right)$, suy ra $K\in \Delta :2x+y+2=0$.
Ta có: $P=\sqrt{{{\left( a-m \right)}^{2}}+{{\left( b-n \right)}^{2}}}=HK$.
$d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| 2.3+2+2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=2\sqrt{5}>2$, suy ra đường thẳng $\Delta $ không cắt đường tròn $\left( C \right)$.
Do đó HK ngắn nhất khi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng $\Delta $ và điểm H là giao điểm của đoạn thẳng IK với đường tròn $\left( C \right)$.
Lúc đó $HK=IK-IH=2\sqrt{5}-2$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $2\sqrt{5}-2$.
Đáp án B.