Cho các số thực a, b, m, n sao cho $2m+n<0$ và thỏa mãn điều kiện...

Ta có: ${\log }_2(a^2+b^2+9)=1+{\log }_2(3a+2b)\iff {\log }_2(a^2+b^2+9)={\log }_2\left[2(3a+2b)\right]$
$\iff a^2+b^2+9=6a+4b\iff {(a-3)}^2+{(b-2)}^2=4$.
Gọi $H(a;b)$, suy ra $H\in \left(C\right)$ có tâm $I(3;2)$, bán kính $R=2$.
Lại có $9^{-m}{.3}^{-n}{.3}^{{\displaystyle \frac{-4}{2m+n}}}+\ln [{(2m+n+2)}^2+1]=81$
$\iff 3^{(-2m+n)+\left({\displaystyle \frac{-4}{2m+n}}\right)}+\ln [{(2m+n+2)}^2+1]=81\left(1\right)$.
Với mọi m, n thỏa mãn $2m+n<0$, ta có:
$\{\begin{array}{rl}& -(2m+n)+{\displaystyle \frac{-4}{2m+n}}\ge 2\sqrt{-(2m+n).\left({\displaystyle \frac{-4}{2m+n}}\right)}=4\Rightarrow 3^{-(2m+n)+\left({\displaystyle \frac{-4}{2m+n}}\right)}\ge 81\\ & \ln [{(2m+n+2)}^2+1]\ge \ln 1=0\end{array}$
Suy ra $3^{-(2m+n)+\left({\displaystyle \frac{-4}{2m+n}}\right)}+\ln [{(2m+n+2)}^2+1]\ge 81$
Do đó $\left(1\right)\iff \{\begin{array}{rl}& -(2m+n)={\displaystyle \frac{-4}{2m+n}}\\ & 2m+n+2=0\end{array}\iff 2m+n+2=0$.
Gọi $K(m;n)$, suy ra $K\in \mathrm{\Delta }:2x+y+2=0$.
Ta có: $P=\sqrt{{(a-m)}^2+{(b-n)}^2}=HK$.
$d(I,\mathrm{\Delta })={\displaystyle \frac{|2.3+2+2|}{\sqrt{2^2+1^2}}}=2\sqrt{5}>2$, suy ra đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ không cắt đường tròn $\left(C\right)$.
Do đó HK ngắn nhất khi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và điểm H là giao điểm của đoạn thẳng IK với đường tròn $\left(C\right)$.
Lúc đó $HK=IK-IH=2\sqrt{5}-2$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $2\sqrt{5}-2$.