Google
Câu hỏi: Cho các số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| z \right|=2$, $\left| w-3+2i \right|=1$ khi đó $\left| {{z}^{2}}-2zw-4 \right|$ đạt giá trị lớn nhất
bằng
A. $16$.
B. $24$.
C. $4+4\sqrt{13}$.
D. $20$.
Gọi $M\left( x; y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+iy \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, $E$ là điểm biểu diễn của số phức $w$. Từ giả thiết suy ra $M$ thuộc đường tròn tâm $O\left( 0; 0 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=2$ ; $E$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3; -2 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=1$ ;
Ta có
$\begin{aligned}
& P=\left| {{z}^{2}}-2zw-4 \right|=\left| {{z}^{2}}-2zw-{{\left| z \right|}^{2}} \right|=\left| {{z}^{2}}-2zw-z.\overline{z} \right|=\left| z \right|.\left| z-2w-\overline{z} \right| \\
& =2.\left| z-2w-\overline{z} \right|=2.\left| 2y-2w \right|=4\left| y-w \right|=4KE\ge HN \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow P\ge 4\left( HI+{{R}_{2}} \right)\Leftrightarrow P\ge 24$
Trong đó $K\left( 0; y \right)$, $-2\le y\le 2$, $H\left( 0; 2 \right), N$ là giao điểm của đường tròn $\left( I \right)$ và đường thẳng $IH$, ${{x}_{N}}>3$.
bằng
A. $16$.
B. $24$.
C. $4+4\sqrt{13}$.
D. $20$.
Ta có
$\begin{aligned}
& P=\left| {{z}^{2}}-2zw-4 \right|=\left| {{z}^{2}}-2zw-{{\left| z \right|}^{2}} \right|=\left| {{z}^{2}}-2zw-z.\overline{z} \right|=\left| z \right|.\left| z-2w-\overline{z} \right| \\
& =2.\left| z-2w-\overline{z} \right|=2.\left| 2y-2w \right|=4\left| y-w \right|=4KE\ge HN \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow P\ge 4\left( HI+{{R}_{2}} \right)\Leftrightarrow P\ge 24$
Trong đó $K\left( 0; y \right)$, $-2\le y\le 2$, $H\left( 0; 2 \right), N$ là giao điểm của đường tròn $\left( I \right)$ và đường thẳng $IH$, ${{x}_{N}}>3$.
Đáp án B.