Google
Câu hỏi: Cho các số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=4.$ Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w=\left( 3+4i \right)z+i$ là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là
A. r = 4.
B. r = 5.
C. r = 20.
D. r = 22.
A. r = 4.
B. r = 5.
C. r = 20.
D. r = 22.
Giả sử $z=a+bi;w=x+yi;\left( a,b,x,y\in \mathbb{R} \right)$
Theo đề $w=\left( 3+4i \right)z+i\Rightarrow x+yi=\left( 3+4i \right)\left( a+bi \right)+i$
$\Leftrightarrow x+yi=\left( 3a-4b \right)+\left( 3b+4a+1 \right)i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3a-4b \\
& y=3b+4a+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3a=4b \\
& y-1=3b+4a \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( 3\text{a}-4b \right)}^{2}}+{{\left( 4\text{a}+3b \right)}^{2}}=25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}}=25\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
Mà $\left| z \right|=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=16.$ Vậy ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=25.16=400$
Bán kính đường tròn là $r=\sqrt{400}=20.$
Theo đề $w=\left( 3+4i \right)z+i\Rightarrow x+yi=\left( 3+4i \right)\left( a+bi \right)+i$
$\Leftrightarrow x+yi=\left( 3a-4b \right)+\left( 3b+4a+1 \right)i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3a-4b \\
& y=3b+4a+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3a=4b \\
& y-1=3b+4a \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( 3\text{a}-4b \right)}^{2}}+{{\left( 4\text{a}+3b \right)}^{2}}=25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}}=25\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
Mà $\left| z \right|=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=16.$ Vậy ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=25.16=400$
Bán kính đường tròn là $r=\sqrt{400}=20.$
Đáp án C.