Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, ${{z}_{3}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|}^{2}}$.
A. $P=9$.
B. $P=10$.
C. $P=8$.
D. $P=12$.
A. $P=9$.
B. $P=10$.
C. $P=8$.
D. $P=12$.
Gọi $A\left( {{x}_{1}} ;{{y}_{1}} \right)$ ; $B\left( {{x}_{2}} ;{{y}_{2}} \right)$ ; $C\left( {{x}_{3}} ;{{y}_{3}} \right)$ là các điểm lần lượt biễu diễn các số phức $C$ ; $ABC$ ; $C$.
vì $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|$ suy ra $A$ ; $B$ ; $C$ thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính bằng 1.
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB$ ; $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=BC$ $\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=AC$.
Suy ra $P={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|}^{2}}$ $=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC} \right)}^{2}}$ $=6-2\left( \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} \right)$
Mặt khác ${{\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+2\left( \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} \right)$
$P=9-{{\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)}^{2}}$ $=9-{{\left( 3\overrightarrow{OG} \right)}^{2}}$ $=9-9O{{G}^{2}}\le 9$ ( với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ).
Dấu " = " xảy ra khi $G\equiv O$, hay $\Delta ABC$ đều.
vì $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|$ suy ra $A$ ; $B$ ; $C$ thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính bằng 1.
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB$ ; $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=BC$ $\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=AC$.
Suy ra $P={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|}^{2}}$ $=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC} \right)}^{2}}$ $=6-2\left( \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} \right)$
Mặt khác ${{\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+2\left( \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} \right)$
$P=9-{{\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)}^{2}}$ $=9-{{\left( 3\overrightarrow{OG} \right)}^{2}}$ $=9-9O{{G}^{2}}\le 9$ ( với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ).
Dấu " = " xảy ra khi $G\equiv O$, hay $\Delta ABC$ đều.
Đáp án A.