Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn các điều kiện: $\left( {{z}_{1}}+2-i \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+1+2i \right)$ là một số thực và $\left| {{z}_{2}}-1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-1+i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}-5-2i \right|+\left| {{z}_{2}}-5-2i \right|$ bằng:
A. $9$.
B. $6+3\sqrt{2}$.
C. $10$.
D. $1+\sqrt{85}$.
Gọi $M,N,A$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${{z}_{1}}=x+yi,\ {{z}_{2}}=c+di, {{z}_{3}}=5+2i\left( x,y,a,b\in \mathbb{R} \right)$
$\left( {{z}_{1}}+2-i \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+1+2i \right)=\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)-\left( y-1 \right)\left( -y+2 \right)+\left[ \left( x+2 \right)\left( -y+2 \right)+\left( y-1 \right)\left( x+1 \right) \right]i$ $\left( {{z}_{1}}+2-i \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+1+2i \right)$ là một số thực nên $\left( x+2 \right)\left( -y+2 \right)+\left( y-1 \right)\left( x+1 \right)=0$ $\Leftrightarrow -xy+2x-2y+4+xy+y-x-1=0\Leftrightarrow x-y+3=0$.
Suy ra tập các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$ là đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ có phương trình $x-y+3=0$.
$\left| {{z}_{2}}-1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow {{\left( c-1 \right)}^{2}}+{{\left( d-3 \right)}^{2}}={{\left( c-1 \right)}^{2}}+{{\left( d+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow d=1$
Suy ra tập các điểm biểu diễn của ${{z}_{2}}$ là đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ có phương trình $y-1=0$.
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}-5-2i \right|+\left| {{z}_{2}}-5-2i \right|=MN+MA+NA$
Gọi ${A}', {{A}'}'$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A$ qua các đường thẳng ${{\Delta }_{1}}, {{\Delta }_{2}}$.
Khi đó ta có $P=MN+MA+NA=MN+M{A}'+N{{A}'}'\ge {A}'{{A}'}'$
Dấu bằng xảy ra khi các điểm ${A}', M, N, {{A}'}'$ thẳng hàng hay $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng ${A}'{{A}'}'$ với các đường thẳng ${{\Delta }_{1}}, {{\Delta }_{2}}$.
Tính được ${A}'\left( -1;8 \right); {{A}'}'\left( 5;0 \right); {A}'{{A}'}'=10$.
Vậy GTNN của $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}-5-2i \right|+\left| {{z}_{2}}-5-2i \right|={A}'{{A}'}'=10$.
A. $9$.
B. $6+3\sqrt{2}$.
C. $10$.
D. $1+\sqrt{85}$.
Gọi $M,N,A$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${{z}_{1}}=x+yi,\ {{z}_{2}}=c+di, {{z}_{3}}=5+2i\left( x,y,a,b\in \mathbb{R} \right)$
$\left( {{z}_{1}}+2-i \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+1+2i \right)=\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)-\left( y-1 \right)\left( -y+2 \right)+\left[ \left( x+2 \right)\left( -y+2 \right)+\left( y-1 \right)\left( x+1 \right) \right]i$ $\left( {{z}_{1}}+2-i \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+1+2i \right)$ là một số thực nên $\left( x+2 \right)\left( -y+2 \right)+\left( y-1 \right)\left( x+1 \right)=0$ $\Leftrightarrow -xy+2x-2y+4+xy+y-x-1=0\Leftrightarrow x-y+3=0$.
Suy ra tập các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$ là đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ có phương trình $x-y+3=0$.
$\left| {{z}_{2}}-1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow {{\left( c-1 \right)}^{2}}+{{\left( d-3 \right)}^{2}}={{\left( c-1 \right)}^{2}}+{{\left( d+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow d=1$
Suy ra tập các điểm biểu diễn của ${{z}_{2}}$ là đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ có phương trình $y-1=0$.
Gọi ${A}', {{A}'}'$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A$ qua các đường thẳng ${{\Delta }_{1}}, {{\Delta }_{2}}$.
Khi đó ta có $P=MN+MA+NA=MN+M{A}'+N{{A}'}'\ge {A}'{{A}'}'$
Dấu bằng xảy ra khi các điểm ${A}', M, N, {{A}'}'$ thẳng hàng hay $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng ${A}'{{A}'}'$ với các đường thẳng ${{\Delta }_{1}}, {{\Delta }_{2}}$.
Tính được ${A}'\left( -1;8 \right); {{A}'}'\left( 5;0 \right); {A}'{{A}'}'=10$.
Vậy GTNN của $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}-5-2i \right|+\left| {{z}_{2}}-5-2i \right|={A}'{{A}'}'=10$.
Đáp án C.