Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}}=1+3i,{{z}_{2}}=-5-3i$. Tìm điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{3}}$, biết rằng trong mặt phẳng phức điểm $M$ nằm trên đường thẳng $x-2y+1=0$ và mô đun số phức $\text{w}=3{{z}_{3}}-{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5} \right)$
B. $M\left( -\dfrac{3}{5};-\dfrac{1}{5} \right)$
C. $M\left( \dfrac{3}{5};-\dfrac{1}{5} \right)$
D. $M\left( -\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5} \right)$
A. $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5} \right)$
B. $M\left( -\dfrac{3}{5};-\dfrac{1}{5} \right)$
C. $M\left( \dfrac{3}{5};-\dfrac{1}{5} \right)$
D. $M\left( -\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5} \right)$
Trắc nghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa ta được đáp án A.
Tự luận:
Ta có $\text{w}=3{{z}_{3}}-{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}=3{{z}_{3}}+3-3i=3\left( {{z}_{3}}+1-i \right)\to \left| \text{w} \right|=3\left| {{z}_{3}}+1-i \right|=3AM$ với $A\left( -1;3 \right)$
$M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{3}}$ nằm trên đường thẳng $d:x-2y+1=0$ và $A\left( -1;3 \right)\notin d.$
Khi đó $\left| \text{w} \right|=3\left| {{z}_{3}}+1-i \right|=3AM$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $AM$ ngắn nhất $\Leftrightarrow AM\bot d$
$AM\bot d$ nên $AM$ có phương trình: $2x+y+1=0.$
Khi đó $M=AM\cap d$ nên $M\left( -\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5} \right).$
Tự luận:
Ta có $\text{w}=3{{z}_{3}}-{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}=3{{z}_{3}}+3-3i=3\left( {{z}_{3}}+1-i \right)\to \left| \text{w} \right|=3\left| {{z}_{3}}+1-i \right|=3AM$ với $A\left( -1;3 \right)$
$M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{3}}$ nằm trên đường thẳng $d:x-2y+1=0$ và $A\left( -1;3 \right)\notin d.$
Khi đó $\left| \text{w} \right|=3\left| {{z}_{3}}+1-i \right|=3AM$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $AM$ ngắn nhất $\Leftrightarrow AM\bot d$
$AM\bot d$ nên $AM$ có phương trình: $2x+y+1=0.$
Khi đó $M=AM\cap d$ nên $M\left( -\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5} \right).$
Đáp án D.