Google
Câu hỏi: Cho các số $a,b>0$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{2}}\left( a+b \right)$. Giá trị $\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}$ bằng
A. 18.
B. 45.
C. 27.
D. 36.
A. 18.
B. 45.
C. 27.
D. 36.
Đặt $t={{\log }_{3}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{2}}\left( a+b \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a={{3}^{t}} \\
& b={{6}^{t}} \\
& a+b={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{3}^{t}}+{{6}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}+{{3}^{t}}=1\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}+{{3}^{t}}$ trên $\mathbb{R}$, có ${f}'\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}.\ln \left( \dfrac{3}{2} \right)+{{3}^{t}}.ln3>0,\forall t\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( -1 \right)\Leftrightarrow t=-1$
$\Rightarrow a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{1}{6}\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}=45.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a={{3}^{t}} \\
& b={{6}^{t}} \\
& a+b={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{3}^{t}}+{{6}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}+{{3}^{t}}=1\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}+{{3}^{t}}$ trên $\mathbb{R}$, có ${f}'\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}.\ln \left( \dfrac{3}{2} \right)+{{3}^{t}}.ln3>0,\forall t\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( -1 \right)\Leftrightarrow t=-1$
$\Rightarrow a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{1}{6}\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}=45.$
Đáp án B.