Google
Câu hỏi: Cho các bất phương trình $lo{{g}_{5}}\left( -{{x}^{2}}+4x+m \right)-{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)<1\left( 1 \right)$, $\sqrt{4-x}+\sqrt{x-1}\ge 0\left( 2 \right)$. Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình (2) đều là nghiệm của bất phương trình (1) là
A. 18.
B. 21.
C. 28.
D. 22.
A. 18.
B. 21.
C. 28.
D. 22.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow 1\le x\le 4.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ luôn đúng với mọi $x\in \left[ 1;4 \right]$.
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( -{{x}^{2}}+4x+m \right)<{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( -{{x}^{2}}+4x+m \right)<{{\log }_{5}}\left[ 5\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]$
$\Leftrightarrow 0<-{{x}^{2}}+4x+m<5{{x}^{2}}+5\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<-{{x}^{2}}+4x+m \\
& -{{x}^{2}}+4x+m<5{{x}^{2}}+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>{{x}^{2}}-4x \\
& m<6{{x}^{2}}-4x+5 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( I \right)$ luôn đúng $\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x;\forall x\in \left[ 1;4 \right] \\
& m<g\left( x \right)=6{{x}^{2}}-4x+5;\forall x\in \left[ 1;4 \right] \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\underset{x\in \left[ 1;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \\
& m<\underset{x\in \left[ 1;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-3 \\
& m<7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m<7.$
Theo đề ta có: $m\in \mathbb{N}*$ nên ta có: $m\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{6}{{{m}_{i}}}=21$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ luôn đúng với mọi $x\in \left[ 1;4 \right]$.
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( -{{x}^{2}}+4x+m \right)<{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( -{{x}^{2}}+4x+m \right)<{{\log }_{5}}\left[ 5\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]$
$\Leftrightarrow 0<-{{x}^{2}}+4x+m<5{{x}^{2}}+5\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<-{{x}^{2}}+4x+m \\
& -{{x}^{2}}+4x+m<5{{x}^{2}}+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>{{x}^{2}}-4x \\
& m<6{{x}^{2}}-4x+5 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( I \right)$ luôn đúng $\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x;\forall x\in \left[ 1;4 \right] \\
& m<g\left( x \right)=6{{x}^{2}}-4x+5;\forall x\in \left[ 1;4 \right] \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\underset{x\in \left[ 1;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \\
& m<\underset{x\in \left[ 1;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-3 \\
& m<7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m<7.$
Theo đề ta có: $m\in \mathbb{N}*$ nên ta có: $m\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{6}{{{m}_{i}}}=21$
Đáp án B.