Cho bất phương trình $m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right).{{\left(...

Ta có $m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right).{{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+\left( 3m+2 \right){{\left( \dfrac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+3m>0$. Đặt $t={{\left( \dfrac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}$, do $x\le 0$ nên $0<t\le 1$.
Tìm tham số $m$ sao cho ${{t}^{2}}+3mt+3m+2>0$, đúng với mọi $0<t\le 1$.
$m>\dfrac{-{{t}^{2}}-2}{3t+3}$ $\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;1 \right]}{\mathop{max}} \dfrac{-{{t}^{2}}-2}{3t+3}$. Ta tìm GTLN của hàm số $f\left( t \right)=-\dfrac{{{t}^{2}}+2}{3t+2}$ trên $0<t\le 1$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1-\sqrt{3} \\
& t=-1+\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng biến thiên ta được
Vậy $\underset{\left( 0;1 \right]}{\mathop{max}} \dfrac{-{{t}^{2}}-2}{3t+3}=f\left( -1+\sqrt{3} \right)$ $=\dfrac{2-2\sqrt{3}}{3}$.