Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình ${{9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.3}^{x}}+m>0$ $\left( 1 \right)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm đúng $\forall x\ge 1$
A. $m>0$.
B. $m\ge -\dfrac{3}{2}$.
C. $m>-2$.
D. $m>-\dfrac{3}{2}$.
A. $m>0$.
B. $m\ge -\dfrac{3}{2}$.
C. $m>-2$.
D. $m>-\dfrac{3}{2}$.
Đặt $t={{3}^{x}}$, $t\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$, $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} t=+\infty $ $\Rightarrow $ với $x\in \left[ 1; +\infty \right)$, thì $t\in \left[ 3; +\infty \right)$.
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0$ $\left( 2 \right)$
Để $\left( 1 \right)$ có nghiệm đúng $\forall x\ge 1$ thì $\left( 2 \right)$ có nghiệm đúng $\forall t\ge 3$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0\ \ \forall t\ge 3$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t>-m\left( t+1 \right)$ $\forall t\ge 3$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-t}{t+1}>-m$ $\forall t\ge 3$ $\left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-t}{t+1}$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-\left( {{t}^{2}}-t \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2{{t}^{2}}+t-1-{{t}^{2}}+t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$
Với $t\ge 3$, ${{t}^{2}}+2t-1\ge {{3}^{2}}+2.3-1>0$ nên ${f}'\left( t \right)>0$ $\forall t\in \left[ 3; +\infty \right)$ $\Rightarrow \underset{\left[ 3; +\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
Do đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow -m<\underset{\left[ 3; +\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=\dfrac{3}{2}$ $\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{2}$.
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0$ $\left( 2 \right)$
Để $\left( 1 \right)$ có nghiệm đúng $\forall x\ge 1$ thì $\left( 2 \right)$ có nghiệm đúng $\forall t\ge 3$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0\ \ \forall t\ge 3$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t>-m\left( t+1 \right)$ $\forall t\ge 3$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-t}{t+1}>-m$ $\forall t\ge 3$ $\left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-t}{t+1}$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-\left( {{t}^{2}}-t \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2{{t}^{2}}+t-1-{{t}^{2}}+t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$
Với $t\ge 3$, ${{t}^{2}}+2t-1\ge {{3}^{2}}+2.3-1>0$ nên ${f}'\left( t \right)>0$ $\forall t\in \left[ 3; +\infty \right)$ $\Rightarrow \underset{\left[ 3; +\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
Do đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow -m<\underset{\left[ 3; +\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=\dfrac{3}{2}$ $\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{2}$.
Đáp án D.