Google
Câu hỏi: Cho ba số thực dương $a,b,c$ đều khác 1 thỏa mãn ${{\log }_{a}}b=2{{\log }_{b}}c=4{{\log }_{c}}a$ và $a+2b+3c=48$. Khi đó $P=abc$ bằng bao nhiêu?
A. 324.
B. 243.
C. 521.
D. 512.
A. 324.
B. 243.
C. 521.
D. 512.
Do $a,b,c$ đều khác 1 nên ${{\log }_{a}}b,{{\log }_{b}}c$ và ${{\log }_{c}}a$ đều khác 0. Ta có :
- ${{\log }_{a}}b=2{{\log }_{b}}c\Leftrightarrow {{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b=2{{\log }_{b}}c\Leftrightarrow {{\log }_{a}}c=2\log _{b}^{2}c$
- ${{\log }_{a}}b=4{{\log }_{c}}a\Leftrightarrow {{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b=4{{\log }_{c}}a\Leftrightarrow {{\log }_{c}}b=4\log _{c}^{2}a$
Suy ra ${{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b=8\log _{b}^{2}c.\log _{c}^{2}a\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b=2$.
Do đó $b={{a}^{2}}$ và ${{\log }_{a}}b=2{{\log }_{b}}c=2\Rightarrow b=c$
Theo giả thiết $a+2b+3c=48\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}+a-48=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{16}{5} \\
& a=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Do các số $a,b,c$ dương nên $a=3\Rightarrow b=c=9$. Vậy $P=abc=243$.
- ${{\log }_{a}}b=2{{\log }_{b}}c\Leftrightarrow {{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b=2{{\log }_{b}}c\Leftrightarrow {{\log }_{a}}c=2\log _{b}^{2}c$
- ${{\log }_{a}}b=4{{\log }_{c}}a\Leftrightarrow {{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b=4{{\log }_{c}}a\Leftrightarrow {{\log }_{c}}b=4\log _{c}^{2}a$
Suy ra ${{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b=8\log _{b}^{2}c.\log _{c}^{2}a\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b=2$.
Do đó $b={{a}^{2}}$ và ${{\log }_{a}}b=2{{\log }_{b}}c=2\Rightarrow b=c$
Theo giả thiết $a+2b+3c=48\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}+a-48=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{16}{5} \\
& a=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Do các số $a,b,c$ dương nên $a=3\Rightarrow b=c=9$. Vậy $P=abc=243$.
Đáp án B.