Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác 1. Gọi $P$ là tích các...

Ta có $8\left( {{\log }_{a}}x \right)\left( {{\log }_{b}}x \right)-7{{\log }_{a}}x-6{{\log }_{b}}x-2018=0$
$\Leftrightarrow 8{{\log }_{b}}a.{{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{2}}-{{\log }_{a}}x.\left( 7+6{{\log }_{b}}a \right)-2018=0$
Điều kiện $x>0$, suy ra $P\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
Từ giả thiết $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác 1, suy ra $a,b>1\Rightarrow {{\log }_{b}}a>0$
Ta suy ra $\dfrac{c}{a}=-\dfrac{2018}{8{{\log }_{b}}a}<0$
Nên phương trình trên sẽ có hai nghiệm phân biệt $\left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}={{\log }_{a}}{{x}_{1}} \\
& {{t}_{2}}={{\log }_{a}}{{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Nên tổng hai nghiệm là ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\dfrac{7+6{{\log }_{b}}a}{8{{\log }_{b}}a}\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=\dfrac{7+6{{\log }_{b}}a}{8{{\log }_{b}}a}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\left( P \right)=\dfrac{7+6{{\log }_{b}}a}{8{{\log }_{b}}a}\Leftrightarrow 7+6{{\log }_{b}}a=8{{\log }_{b}}P\Leftrightarrow {{P}^{8}}={{b}^{7}}.{{a}^{6}}$, (1)
Tiếp tục ta được $b{{a}^{2}}={{\left( \dfrac{ab}{P} \right)}^{8}}$, do giả thiết $a,b,P\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow ab\vdots P\Rightarrow ab=c.P$ với $c\in {{\mathbb{N}}^{*}},c>1$
Thay vào ta được ${{a}^{2}}b={{c}^{8}}$ (2)
Để $P$ nhận giá trị nhỏ nhất, theo (1) ta phải có $a$ và $b$ nhỏ nhất. Từ (2), suy ra $c$ nhỏ nhất, mà $c>1$ chọn $c=2\Rightarrow {{a}^{2}}b={{2}^{8}}={{2}^{2}}.64={{4}^{2}}.16={{8}^{2}}.4$
Suy ra $\left( a,b \right)\in \left\{ \left( 2,64 \right);\left( 4,16 \right);\left( 8,4 \right) \right\}\Rightarrow P\in \left\{ 64;32;16 \right\}$
Vậy ${{P}_{\min }}=16$ khi $a=8,b=4$