Google
Câu hỏi: Cho $A\left( 1;2;3 \right),B\left( 2;3;4 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R$ và $\left( S \right)$ tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng $Oxy,Oyz,Oxz$. Khối cầu $\left( S \right)$ chứa đoạn thẳng $AB$ (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ đều thuộc khối cầu $\left( S \right)$ ). Tính tổng các giá trị nguyên mà $R$ có thể nhận được?
A. $7.$
B. $3$
C. $1$
D. $5$
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R$ và $\left( S \right)$ tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng $Oxy,Oyz,Oxz$ nên tọa độ tâm $I\left( a,a,a \right)$ và $a=R$.
Để khối cầu $\left( S \right)$ chứa đoạn thẳng $AB$ thì ta cần có:
$\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}\le {{R}^{2}} \\
& I{{B}^{2}}\le {{R}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}-6a+7\le 0 \\
& 2{{a}^{2}}-18a+29\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-\sqrt{2}\le a\le 3+\sqrt{2} \\
& \dfrac{9-\sqrt{23}}{2}\le a\le \dfrac{9+\sqrt{23}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{9-\sqrt{23}}{2}\le a\le 3+\sqrt{2}$.
Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ 3;4 \right\}$. Tức là $R\in \left\{ 3;4 \right\}$, suy ra tổng các giá trị nguyên mà $R$ có thể nhận được bằng $7$.
A. $7.$
B. $3$
C. $1$
D. $5$
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R$ và $\left( S \right)$ tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng $Oxy,Oyz,Oxz$ nên tọa độ tâm $I\left( a,a,a \right)$ và $a=R$.
Để khối cầu $\left( S \right)$ chứa đoạn thẳng $AB$ thì ta cần có:
$\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}\le {{R}^{2}} \\
& I{{B}^{2}}\le {{R}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}-6a+7\le 0 \\
& 2{{a}^{2}}-18a+29\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-\sqrt{2}\le a\le 3+\sqrt{2} \\
& \dfrac{9-\sqrt{23}}{2}\le a\le \dfrac{9+\sqrt{23}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{9-\sqrt{23}}{2}\le a\le 3+\sqrt{2}$.
Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ 3;4 \right\}$. Tức là $R\in \left\{ 3;4 \right\}$, suy ra tổng các giá trị nguyên mà $R$ có thể nhận được bằng $7$.
Đáp án A.