Cho a là số thực dương $a\ne 1$. Biết bất phương trình $2{{\log...

Cách 1: Đặt $f\left( x \right)=2{{\log }_{a}}x-x+1$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=2{{\log }_{a}}x-x+1\le 0 \\
& f\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\left( \forall x>0 \right)\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=0$.
Suy ra $x=1$ là điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right)$.
Do đó $f'\left( 1 \right)=\dfrac{2}{\ln a}-1=0\Leftrightarrow \ln a=2\Leftrightarrow a={{e}^{2}}\in \left( 7;8 \right)$.
Cách 2: $2{{\log }_{a}}x\le x-1\Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt{a}}}x\le x-1\left( \forall a\ne 1;x>0 \right)$ .
Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị $y={{\log }_{\sqrt{a}}}x$ không nằm trên đường thẳng $y=x-1,\forall x>0\Rightarrow a>1$.
Suy ra đường thẳng phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
Do đó $y'\left( 1 \right)=\dfrac{1}{\ln \sqrt{a}}=0\Leftrightarrow \ln \sqrt{a}=1\Leftrightarrow a={{e}^{2}}\in \left( 7;8 \right)$.