Google
Câu hỏi: Cho $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{5}}\left( \dfrac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. 1.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. 1.
${{\log }_{5}}\left( \dfrac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2a+5 \right)-{{\log }_{5}}5\left( a+b \right)=5\left( a+b \right)-\left( 4a+2b+5 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2a+5 \right)+\left( 4a+2a+5 \right)={{\log }_{5}}5\left( a+b \right)+5\left( a+b \right) \left( * \right)$
Hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t \left( t>0 \right)/{f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0 \forall t>0$
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm đồng biến nên ta có
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 4a+2a+5 \right)=f\left( 5\left( a+b \right) \right)\Leftrightarrow 4a+2b+5=5\left( a+b \right)\Leftrightarrow a=5-3b$
$T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Rightarrow T={{\left( 5-3b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=10{{b}^{2}}-30b+25=10{{\left( b-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{5}{2}\ge \dfrac{5}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ là $\dfrac{5}{2}$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2a+5 \right)+\left( 4a+2a+5 \right)={{\log }_{5}}5\left( a+b \right)+5\left( a+b \right) \left( * \right)$
Hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t \left( t>0 \right)/{f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0 \forall t>0$
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm đồng biến nên ta có
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 4a+2a+5 \right)=f\left( 5\left( a+b \right) \right)\Leftrightarrow 4a+2b+5=5\left( a+b \right)\Leftrightarrow a=5-3b$
$T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Rightarrow T={{\left( 5-3b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=10{{b}^{2}}-30b+25=10{{\left( b-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{5}{2}\ge \dfrac{5}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ là $\dfrac{5}{2}$.
Đáp án B.