Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& b\ge 1 \\
& 30-\left( b-4 \right)\sqrt{b-1}>0. \\
\end{aligned} \right.$
$VT={{2}^{a+\dfrac{1}{a}}}\ge {{2}^{2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}}}={{2}^{2}}=4.$
$VP={{\log }_{2}}\left[ \dfrac{30-\left( b-4 \right)\sqrt{b-1}}{2} \right]={{\log }_{2}}\left[ 30-\left( b-4 \right)\sqrt{b-1} \right]-1$
$={{\log }_{2}}\left[ 30-\left( b-1 \right)\sqrt{b-1}+3\sqrt{b-1} \right]-1.$
Đặt $t=\sqrt{b-1},t\ge 0.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{3}}+3t+30,t\ge 0.$
$f'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+3,f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}+3=0\Leftrightarrow t=\pm 1.$
Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy $f\left( t \right)\le 32,\forall t\ge 0$
$\Rightarrow 30-\left( b-1 \right)\sqrt{b-1}+3\sqrt{b-1}\le 32\Rightarrow {{\log }_{2}}\left[ 30-\left( b-1 \right)\sqrt{b-1}+3\sqrt{b-1} \right]\le {{\log }_{2}}32$
$\Rightarrow {{\log }_{2}}\left[ 30-\left( b-1 \right)\sqrt{b-1}+3\sqrt{b-1} \right]-1\le 5-1.$
Suy ra $VP\le 4.$
Như vậy ${{2}^{a+\dfrac{1}{a}}}={{\log }_{2}}\left( \dfrac{30-\left( b-4 \right)\sqrt{b-1}}{2} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{a} \\
& \sqrt{b-1}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=2. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $P=2a+2b=6.$