Google
Câu hỏi: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a\ne 1,a\ne \sqrt{b}$ và ${{\log }_{a}}b=\sqrt{5}.$ Tính giá trị của biểu thức $P={{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\sqrt{\dfrac{b}{a}}.$
A. $P=3+\sqrt{5}.$
B. $P=3-\sqrt{5}.$
C. $P=\sqrt{5}-1.$
D. $P=\sqrt{5}+1.$
A. $P=3+\sqrt{5}.$
B. $P=3-\sqrt{5}.$
C. $P=\sqrt{5}-1.$
D. $P=\sqrt{5}+1.$
Ta có
$P={{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\sqrt{\dfrac{b}{a}}={{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\left( \dfrac{\sqrt{b}}{a}.\sqrt{a} \right)={{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\dfrac{\sqrt{b}}{a}+{{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\sqrt{a}=1+{{\log }_{\dfrac{b}{{{a}^{2}}}}}a$
$=1+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}\dfrac{b}{{{a}^{2}}}}=1+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}{{a}^{2}}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=3+\sqrt{5}.$
$P={{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\sqrt{\dfrac{b}{a}}={{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\left( \dfrac{\sqrt{b}}{a}.\sqrt{a} \right)={{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\dfrac{\sqrt{b}}{a}+{{\log }_{\dfrac{\sqrt{b}}{a}}}\sqrt{a}=1+{{\log }_{\dfrac{b}{{{a}^{2}}}}}a$
$=1+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}\dfrac{b}{{{a}^{2}}}}=1+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}{{a}^{2}}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=3+\sqrt{5}.$
Đáp án A.