Google
Câu hỏi: Cho a, b, c là các số thực và số phức $z=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Giá trị của $(a+b\text{z}+c{{\text{z}}^{2}})(a+b{{\text{z}}^{2}}+c\text{z})$ bằng
A. $a+b+c$
B. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$
C. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca$
D. 0
A. $a+b+c$
B. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$
C. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca$
D. 0
Cách 1: Ta có $z=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{z}^{2}}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\overline{z}$ và ${{\overline{z}}^{2}}=z,z+\overline{z}=-1,z.\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}}=1$.
Khi đó $(a+b\text{z}+c{{z}^{2}})(a+b{{\text{z}}^{2}}+c\text{z})=(a+b\text{z}+c\overline{z})(a+b\overline{z}+c\text{z})$
$={{a}^{2}}+ab\overline{z}+acz+ab\text{z}+{{b}^{2}}z\overline{z}+bc{{\text{z}}^{2}}+ac\overline{z}+bc{{\overline{z}}^{2}}+{{c}^{2}}z\overline{z}$
$={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$.
Cách 2: Chọn một bộ số a, b, c bất kì.
Tính giá trị biểu thức $P=(a+b\text{z}+c{{\text{z}}^{2}})(a+b{{\text{z}}^{2}}+c\text{z})$.
So sánh giá trị biểu thức P với các đáp án. Ta thấy B là đáp án đúng.
Khi đó $(a+b\text{z}+c{{z}^{2}})(a+b{{\text{z}}^{2}}+c\text{z})=(a+b\text{z}+c\overline{z})(a+b\overline{z}+c\text{z})$
$={{a}^{2}}+ab\overline{z}+acz+ab\text{z}+{{b}^{2}}z\overline{z}+bc{{\text{z}}^{2}}+ac\overline{z}+bc{{\overline{z}}^{2}}+{{c}^{2}}z\overline{z}$
$={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$.
Cách 2: Chọn một bộ số a, b, c bất kì.
Tính giá trị biểu thức $P=(a+b\text{z}+c{{\text{z}}^{2}})(a+b{{\text{z}}^{2}}+c\text{z})$.
So sánh giá trị biểu thức P với các đáp án. Ta thấy B là đáp án đúng.
Đáp án B.