Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa $\log _{a}^{2}b+\log...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa

\log_{a}^{2} b + \log_{b}^{2} c = \log_{a}^{} \frac{c}{b} - 2 \log_{b}^{} \frac{c}{b} - 3

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

P = \log_{a} b - \log_{b} c

. Giá trị của biểu thức

S = 2 m + 3 M

bằng
A.

S = \frac{1}{3}

.
B.

S = \frac{2}{3}

.
C.

S = 2

D.

S = 3

.

Đặt

{\begin{aligned} x = \log_{a} b \\ y = \log_{b} c \end{aligned} \Rightarrow P = x - y

và giả thiết trở thành

x^{2} + y^{2} = x y - x - 2 y - 1

.
Suy ra

x^{2} + {(x - P)}^{2} = x (x - P) - x - 2 (x - P) - 1 \Leftrightarrow x^{2} + (3 - P) x + {(P - 1)}^{2} = 0

.
Phương trình có nghiệm khi

Δ \geq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq P \leq \frac{5}{3}

.

Đáp án D.